函数的最值知识点总结与经典题型归纳文档.docx

完好word版)函数的最值知识点总结与经典题型概括,文档函数的最值知识梳理函数最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为I.假如存在实数M满足：①对于任意x都有f(x)M.②存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值.函数最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I.假如存在实数M满足：①对于任意x都有f(x)M.②存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值.注意：对于一个函数来说，不必定有最值，如有最值，则最值必定是值域中的一个元素．3.函数的最值与其单调性的关系．（1）若函数在闭区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；（2）若函数在闭区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．4．二次函数在闭区间上的最值．研究二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，而后依据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的地址关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依照，而且最大(小)值不必定在极点处获得．例题精讲【例1】求函数f(x)3x在[0,3]上的最大值和最小值．解：由于函数f(x)3x在[0,3]上单调递加所以f(x)3x在[0,3]上的最大值为f(3)339；f(x)3x在[0,3]上的最小值为f(0)300；【例2】求函数yx2在区间[2，6]上的最大值和最小值．212解：函数y的图象以以下图所示，所以yx在区间[2，6]上单调递减；x11所以y2在区间[2，6]上的最大值为22；x211最小值为22.6151题型一利用图象求最值【例3】求以下函数的最大值和最小值.253（1）y32xx,x[,]22（2）y|x1||x2|解：（1）二次函数y32xx2的对称轴为x＝－1.画出函数的图象，由以下图，可知：当x1时，ymax4；当x3时，ymin9.24所以函数y32xx2,x[5,3]最大值为4，最小值为9.2243,x2（2）y|x1||x2|2x1,1x23,x1作出函数图象，以以下图，可知：y[3,3]所以函数的最大值为3,最小值为－3.题型二利用函数单调性求最值【例4】求函数f(x)x9在x[1,3]上的最大值和最小值.x解析：先判断函数的单调性，再求最值.解：由于1x1x23所以f(x1)f(x2)x19(x29)x1x2(99)x1x29(x2x1)x1x2x1x2x1x2(x1x2)(19)x1x2由于1x1x23所以x1x20，x1x2990，所以f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2)所以1x1x2所以f(x)x9在区间[1,3]上单调递减；x918，最大值为f(1)19所以求函数f(x)在x[1,3]上的最小值为f(3)310.331题型三函数最值的应用2【例5】已知函数f(x)x22xa，x[1,)x（1）当a1时，求函数f(x)的最小值.2（2）若对任意的x[1,)，f(x)0恒成立，试求a的取值范围.1x22x1解：（1）当a时，f(x)x22设1x1x2则f(x1)f(x2)(x112)(x212)2x12x2(x1x2)x2x1(x1x2)2x1x212x1x22x1x2由于x1x20，所以2x1x21，2x1x210所以f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以f(x)在区间[1,)上单调递加所以的最小值为f(1)1127.22（2）f(x)0对x[1,)恒成立?x22xa0对x[1,)恒成立?ax22x对x[1,)恒成立．令ux22x(x1)21，其在[1,)上是减函数，∴当x1时，umax3.所以a3.故实数a的取值范围是(3,)．课堂练习仔细读题，必定要选择最正确答案哟！2x＋6x∈[1，2]1．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为( )x＋7x∈[－1，1]A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对2．已知f(x)在R上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有( )．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)3C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)3.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝a在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )x＋1A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]4．函数y＝|x－3|－|x＋1|有()A．最大值4，最小值0B．最大值0，最小值－4C．最大值4，最小值－4D．最大值、最小值都不存在．函数y＝－x2－10x＋11在区间[－1,2]上的最小值是________．56．假如函数f(x)＝－x2＋2x的定义域为[m，n]，值域为[－3,1]，则|m－n|的最小值为________．7.已知函数f(x)x22x3，若x[t,t2]时，求函数f(x)的最值.8.求函数f(x)x在区间[2,5]上的最大值和最小值.x19.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].41）当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；2）求使函数y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数的a的取值范围．5。