对数与对数函数版含答案.pdf

对数与对数函数 【课前回顾】 1对数 概念 如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的 对数，记作xlogaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数， logaN 叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：axN? xlogaN loga10，logaa 1，alogaNN 运算法则 loga(M N) logaM logaN a0，且 a1， M0，N0 logaM N logaM logaN logaM n nlog aM(nR) 换底公式 换底公式： logab logcb logca(a0，且 a1，c0，且 c1， b0) 2.对数函数的图象与性质 函数ylogax(a 0，且 a1) 图象 a10a1 图象特征 在 y轴右侧，过定点(1,0) 当 x 逐渐增大时，图 象是上升的 当 x逐渐增大时， 图象是 下降的 性 质 定义域(0， ) 值域R 单调性 在 (0， )上是增函 数 在 (0， )上是减函数 函数值 变化规律 当 x1 时， y0 当 x1 时， y0；当 0 x1 时， y1 时， y0； 当 0 x0 【课前快练】 1已知 a0，a 1，函数 y a x 与 yloga(x)的图象可能是 () 解析： 选 B函数 yloga(x)的图象与 y logax 的图象关于y轴对称，符合条件的只 有 B. 2函数 y lg|x|() A是偶函数，在区间(， 0)上单调递增 B是偶函数，在区间(， 0)上单调递减 C是奇函数，在区间(0， )上单调递减 D是奇函数，在区间(0， )上单调递增 解析： 选 Bylg|x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0， )上单调 递增 3设 a log2 ，blog 1 2 ，c 2，则 a， b，c 的大小关系是 () A abcB bacCa cbDcba 解析： 选 C因为alog2 1， blog 1 2 0，c 21 20，但 c1，所以bc a. 4函数 ylog0.54x 3 的定义域为 _ 解析： 要使函数有意义，须满足 4x 30， log0.54x 3 0， 解得 3 40 时， g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x1 时， f(x)ln(x1)， 又 f(x)的图象关于x 1对称，故选B. 2.已知函数f(x)loga(2 xb1)(a0，且 a 1)的图象如图所示， 则 a，b 满足的关系是() A 0a 1b1 B0 ba 11 C 0b 1a1 D0 a 1b11 解析： 选 A令 g(x)2xb1，这是一个增函数， 而由图象可知函数f(x)loga(g(x)是单调递增的，所以必有 a1. 又由函数图象与y 轴交点的纵坐标介于1 和 0之间， 即 1 f(0) 0，所以 1logab0， 故 a 1b1，因此 0 a1b1. 考点三对数函数的性质及应用 1无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性，变换不同的角度来应用对数函 数单调性的直接应用，利用单调性来比较大小、解不等式；对数函数单调性的迁移应用， 根据单调性来求参数的范围，所以弄清对数函数的单调性是解题的关键，并注意有时需对 底数字母参数进行讨论 2与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关对于函数ylogaf(x)(a 0，且 a1)，若定义域为R，则 f(x)0 在 R 上恒成立；若值域为R，则 f(x)能取遍所有 正实数 【典型例题】 角度 (一)比较对数值的大小 1 已知 alog29log23， b1log27， c 1 2log 213， 则 a， b， c 的大小关系为() A abcBbac C cabDcba 解析： 选 Balog29log2 3log23 3， b1log27log227，c 1 2log 213log226， 因为函数ylog2x 在(0， )上是增函数， 且 2 73326，所以 bac. 题型技法 比较对数值大小的方法 若底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同 一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同， 真数相 同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不 同 常借助 1,0 等中间量进行比较 角度 (二)简单对数不等式的解法 2已知不等式logx(2x 21)log x(3x)0 成立，则实数x 的取值范围是_ 解析： 原不等式 ? 0 x3x1 或 x1， 2x 213x1 ，解不等式组得 1 3xbcBbac C cabDbca 解析： 选 A由对数函数的性质可得alog0.30.2log0.30.31，blog3 (0,1)，c log0.3ebc. 2设函数f(x) 4 1x，x 1， 1 log 4 1 x，x1， 则满足不等式f(x) 2 的实数x 的取值集合为 _ 解析： 原不等式等价于 x1， 4 1x2 或 x 1， 1 log 4 1 x2， 解得 1 2x1 或 1x4，即实 数 x 的取值集合为x| 1 2x 4 . 答案：x| 1 2 x4 3已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且 a 1)，若 f(x)1 在区间 1,2上恒成立，则实 数 a 的取值范围为_ 解析： 当 a1 时， f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数， 由 f(x)1 在1,2上恒成立，则f(x)minloga(82a)1， 解得 1a 8 3，当 0 a1 时， f(x)在1,2上是增函数， 由 f(x)1 在1,2上恒成立，则f(x)minloga(8a) 1， 且 82a0，故不存在实数a 满足题意 综上可知，实数a 的取值范围是1， 8 3 . 答案：1， 8 3 【课后演练】 1函数 ylog32x1 1的定义域是 () A 1,2B1,2) C. 2 3， D. 2 3， 解析： 选 C由 log32x1 10， 2x1 0， 即 log32x1 log31 3， x 1 2， 解得 x2 3. 2若函数yf(x)是函数 ya x(a0，且 a1)的反函数，且 f(2)1，则 f(x)() A log2xB. 1 2 x C log 1 2x D2 x2 解析： 选 A由题意知 f(x)logax(a0，且 a1)， f(2) 1， loga21， a 2. f(x) log2x. 3如果 log1 2 xlog 1 2 y0，那么 () A yx1 Bxy1 C 1xyD1yx 解析： 选 Dlog1 2 xlog1 2 yy1. 4若函数ya |x|(a0，且 a1)的值域为 y|0 y1，则函数 yloga|x|的图象大致是 () 解析： 选 A由函数 ya|x|(a0，且 a1)的值域为 y|0y1，知 0a 1，由此可 知 yloga|x|的图象大致是 A. 5设函数f(x)loga|x|(a0，且 a1)在(， 0)上单调递增，则f(a1)与 f(2)的大小 关系是 () A f(a1)f(2) Bf(a1)f(2) C f(a1)f(2) D不能确定 解析： 选 A由已知得0a1，所以1a1f(2) 6(2018 郑州模拟 )已知函数f(x)lg1x 1x，若 f(a) 1 2，则 f(a)( ) A 2 B 2 C. 1 2 D 1 2 解析： 选 Df(x) lg 1x 1x的定义域为 1xc. 12.已知函数yloga(x c)(a， c 为常数，其中a0， a1)的图象如图， 则下列结论成立的是() A a1， c1Ba1,0c1 C 0a1D0a1,0c0，所以 x0 或 x 3 2.当 x 1 2， 时， M (1， )，f(x)0，所以 a1，又 Mx 23 2x 图象的对称轴为 x 3 4，且开口向上，故由 复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0， ) 14设 2 a5bm，且1 a 1 b2，则 m_. 解析： 因为 2a5bm， 所以 alog2m，b log5m， 所以 1 a 1 b 1 log2m 1 log5mlogm2log m5logm102，所以 m 210，m 10. 答案：10 15设函数f(x) log2x， x0， log 1 2 x ，x0， 若f(a) f( a)，则实数a 的取值范围是 _ 解析： 由 f(a)f(a)得 a0， log2alog 1 2 a 或 a 0， log 1 2 a log2a ， 即 a0， log2a log2a 或 a 0， log2a log2a . 解得 a1 或 1a 0. 答案： ( 1,0) (1， ) 16设 f(x)loga(1 x)loga(3x)(a0，且 a1)，且 f(1) 2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域； (2)求 f(x)在区间0， 3 2 上的最大值 解： (1)f(1)2， loga42(a0，且 a1)， a2. 由 1x0， 3x0， 得 1x3， 函数 f(x)的定义域为 (1,3) (2)f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x) log2(x1) 24， 当 x(1,1时， f(x)是增函数； 当 x(1,3)时， f(x)是减函数， 故函数 f(x)在 0， 3 2 上的最大值是f(1) log242. 17已知函数f(x)loga(a 2xt)，其中 a 0 且 a1. (1)当 a2 时，若 f(x) x无解，求t 的取值范围； (2)若存在实数m，n(mn)，使得xm，n时，函数f(x)的值域也为 m，n，求 t 的 取值范围 解： (1)log2(22xt)xlog22x， 22xt2x无解，等价于22x t2x恒成立，即t 22x2xg(x)恒成立，即tg(x)max， g(x) 22x2x 2 x1 2 21 4 ， 当 2 x1 2，即 x 1 时， g(x)取得最大值 1 4， t 1 4，故 t 的取值范围为 1 4， . (2)由题意知f(x)loga(a 2xt)在m，n上是单调增函数， f m m， f n n， 即 a 2mtam， a 2n tan， 问题等价于关于k的方程 a2kak t0 有两个不相等 的实根， 令 a ku0，则问题等价于关于 u 的二次方程u 2ut 0 在 u (0， )上有两 个不相等的实根，即 u1 u20， u1 u20， 0， 即 t0， t 1 4， 得 0t 1 4. t 的取值范围为0， 1 4 . 。