2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一（下）期中数学试卷（含解析）.pdf

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一(下)期中数学试卷一、单选题(本大题共8小题，共40.0分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.已知tcm=2,tan=-3,则tan（/?）的值为（）A.2 B.1 C.1 D.22.在 4BC中，已知角4,B的对边分别为,b,A=,B=%a=2,贝昉=()4 OA.-2 B.C C.22 D.2-33.在复平面内，向量色?，而分别与复数2+i,4-3i对应，其中为坐标原点，i为虚数单位,则I同|=()A.2-3 B.4 C.3/7 D.254.已知一个物体在三个力比=(1,2)，F2=(-1,-3)，八的作用下，处于静止状态，则？3=()A.(0,1)B.(-1,0)C.(0,-1)D.(-1,1)5.已知五，石 是单位向量，且满足小(2五石)=则弓与石的夹角为()A.B,C.o 3D.66.tan37.5o _,1-tan237.5A.2+3 B.2-3 C.1+?7.在AZBC中，acosA=bcosB,则4BC的形状是（）D.1 个A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.在 力BC中，点M是边BC所在直线上的一点，且 丽=2阮，点P在直线AM上，若向量 2 _前=4瓦？+近(4 0,”0)，则彳+的最小值为()A.3 B.4 C.3+D.9二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求)9.已知复数z=+6i,(a,bER),则下列选项中，正确的是()A.若Z(I i)=5,则Z=1B.若Z?R,则b=0C.若Z=z,则匕=OD.若Q=b=孕，则l+z +z2=01 0.已知日，b c,m,元是平面向量，则下列选项中，正确的是()A.ab,bc,则五HB.若五=(2,6),石=(1,3)，则丘，B可以作为平面内的一组基底C.若方=(0,3),fe=(-3,i)则为在方上的投影向量为(手,令D.若I沅=4,n =3,nn=5,则|沅一元|=151 1.函 数/=Si n节+cos拳 则下列选项中正确的是()A./Q)的最大值是J至B.f(x)的图象在直线y=-l的上方C.点(1,0)是/(X)图象的一个对称中心D.函数y=/(x)-+在区间-10,10上的所有零点之和等于一61 2.已知/4 =75在4月 的两条边上分别有B,两个动点，BO=I+C,在NA内部有一-点C,满足ZBCD=/4且BC=%,则下列选项中正确的是()AAB4D B/D*C.力BD的面积有最大值 D.AC的最大值为-5+C三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知复数Z满足加2。

23=1+i,其中i是虚数单位，则IZl=.14.若s in(-3)=,则cos(2+等=.15.如 图，在平面四边形ABCD中，N840=NBeo=90AC=,C4B4C=45则I9+2而I的 最 小 值 为 .DA B16.在C中，角4,B,C所对的边分别为,b,c,a-2 b=ccosB+3 csinBf 角C的平分线交回于D点，且BD=率AD=,A C B =M BC的内切圆面积是四、解答题(本大题共6小题，共70.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题10.0分)已知向量五=(1,一1),b=(2,)c-(3,1).(1)若五a求实数;I的值；(2)若AE+工与下垂直，求实数k的值.18.(本小题12.0分)已知复数z=1+m i,若 是 实 数，其中i是虚数单位，m&R.(I)求ni的值；(2)若复数Z O =-3-i +Z是关于X的方程/+汝+c=0的根，求实数b和C的值.19.(本小题12.0分)在 ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a 二 口,s i n2B+s i n2C=s i n2+SinAsinBsinC,在下列条件中选择一个，判断 48C是否存在.如果存在，那么求出的面积；如果不存在，那么请说明理由.BC边的中线4。

长 为/b+c=2-；Cos B=-|.20.(本小题12.0分)已知平面向量方=(sinx,-cosx),b=(3cos x,-cosx)c=(l,2cos x-1).(1)设函数/(无)=2五不，求/0)的最小正周期；(2)设函数 y=/(x)+ac,记t=sinx+co sx,试用t表示Si nX co sx,并写出t的取值范围;求y的最小值.21.(本小题12.0分)在小岛N的正北方向有一补给点P.某巡逻艇从N出发沿北偏西45方向航行，航行15飞海里后到达点M,此时，巡逻艇接到了位于P正北方向50海里的抛锚渔船Q处发来的求救信号，同时观测到P位于M的北偏东60方向.已发现巡逻艇燃料不足，现有两种营救方案：方案一为节省燃油、确保能到达抛锚渔船Q处，巡逻艇以35海里/小时的速度航行，以最短路程前往：方案二巡逻艇以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往补给点，在补充燃油后仍然以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往，已知在到达补给点后补充燃油总共需要在补给点停留0.2小时;试判断哪种营救方案可以更快的达到抛锚渔船Q处.(在实施两种方案时，均不考虑水流速度)2 2.(本小题12.0分)已知，在斜三角形4BC中，角力，B,C的对边分别为,b,c,sinA=cosB.(1)求A-B 的大小；(2)若=l,求 而.配 的最小值；O(3)若sim4=cosB=-tanC,求A,B的大小.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为tan=2,tan=-3,所以tanQ 6)=黑瑞=念当=T故 选:B.由两角差的正切公式直接求解即可.本题主要考查两角差的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题.2.【答案】4【解析】解：施=白,asnB b=StnA故选：A.根据正弦定理求解即可.本题考查正弦定理，考查基本求解能力，属于基础题.3.【答案】D【解析】解：向 量/，砺分别与复数2+i,4-3 i对应,则 次=(2,1)，OB=(4,-3)AB=0B-O A =(2,-4)-A B =22+(-4)2=25.故选：D.根据已知条件，结合复数的几何意义，向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解.本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.4.【答案】4【解析】解：已知一个物体在三个力用=(1,2)，F2=(-1,-3)，片的作用下，处于静止状态,设 耳=(,y所以瓦+瓦+瓦=(1,2)+(-L-3)+(%,y)=6=(0,0)，解得耳=(0,1)故选：A.直接利用向量的线性运算求出结果.本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.5.【答案】B【解析】解：设五与石的夹角为。

0,a,B是单位向量，且满足九(2五一方)=0，则21 另=片，故2 1 1 cos=1,解得CoSe=,故选：B.根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解.本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题.6.【答案】C【解析】解:_t_n_3_7_.5_o_ _ _ 2fn37.5ol-tan237.5-2_ l-tan237.5=-tan75o-tan(45o+30)1 tn45o+tn30o2 X l-tan45tczn30o=2 x71故选：C.利用三角函数的倍角公式，两角和的正切公式，求解即可.本题主要考查三角函数的倍角公式，两角和的正切公式，属于中档题.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的关系式变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.直接利用正弦定理整理得S讥2 4=s in2B,进一步利用三角函数的关系式的变换求出结果.【解答】解：利用正弦定理：cos 4=bcos B转换为s i n4cos 4=Si nBcos B,整理得 s i n24=sin2B,故 2A=2B 或 2A+2B=兀；所以A=B或A+B=热故三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：D.8.【答案】B【解析】解：.BM=2BC.：.BC=.BP=BA+BC=BA+BM,点A,P,M三点共线，i =1,又 0,0,时-11-JA-2K2当仅I L当等号成立，1 9+3的最小值为4.故 选:B.由题意可得”=/1雨+4丽，又点4 P，M三点共线，所以/1+=1,再利用“1”的代换,结合基本不等式求解即可.本题主要考查了向量的线性运算，考查了基本不等式的应用，属于中档题.9.【答案】CD【解析】解：对于4,z(l-i)=5,则z=I =打 孔 故 A 错误;对于B,不妨设z=-2 3满足z 2 R,但b 0,故 B 错误；对于C,z=z,则+bi =-b 3 即2bi =0,解得b=0,故 C 正确;对于D,Q=一；,b=,则 Z=-+i-所以l+z+z2=0,故。

正确.故选：CO.根据已知条件，结合共批复数的定义，以及复数的四则运算，以及特殊值法，即可求解.本题主要考查共转复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.10.【答案】BC【解析】解：A.b=0,E E 不平行时，满足乙瓦3 高得不出五 乙 A 错误;B.心石不共线，.乙方可作为平面内的一组基底，B 正确；C.五在石上的投影向量为：晋,东=(，W I)=(H),C 正确；D.m I=4,n=3,m-n =5,.m-n (-n)2=n+n2-2 m-n =16+9-1 0 =l5-错误故选：BC.AZ=6时，即可判断4 的正误；员根据向量乙B的坐标判断五万是否共线，然后即可判断B的正误；C.根据投影向量的计算公式即可判断C的正误；根据I访-元 I=(-H)2 进行数量积的运算即可判断的正误.本题考查了平行向量的定义，基底的定义，根据向量坐标判断两向量是否共线的方法，投影向量的计算公式，向量长度的求法，向量坐标的数量积和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题.1 1.【答案】ACD【解析】解：f(x)=si n +c o s=+?C o S H)=V si n 雀 +.).所以/(%)的周期为8.4 选 项 由 f(x)的解析式可知最大值为/2故 A正确.B 选项由/(x)的解析式可知最小值为-，至 -1，所以有一部分在-1 的下方，故 B错误.C 选 项可以把(1,0)代入/(x),可知/(1)=0,所以该点是对称中心，故 C正确.。

选项令g()=W,它的对称中心为(一L o).在 T O,1 0 内,g()和“X)有6 个交点，如图所示，两两关于(-1,0)对称并且横坐标和为-1，例如A 点和B 点的横坐标之和为-1,所以零点之和为-6.故正确.故选：ACD.利用辅助角公式进行化简f(x),进而判断4 B C,选项结合对称中心进行求解这道题属于基础题，考查辅助角公式，对称中心，最值.1 2.【答案】BC【解析】解：在A B C D 中，BC=R，BD=1 +3,NB C D =7 5由余弦定理可得B O?=B C2+CD2-2 BC-CDosBCD,B P C D2-(3-C)C D+2-23 =0.CD=2或1 一 门(舍)，在ABCC中，由 正 弦 定 理 可 得-=,-=SinzDfiC snBC D SIn乙DBCC+3+V，-4-所以SinNOBC=号，即4BC故 B 正确；在AABD中，因为DB=I+C,4=75所以点4 的运动轨迹为瓦石，故 AAB的大小不能确定，且力BD的面积有最大值，故 4 错误，C正确;令AABD的外接圆圆心为O M lB D,则2B=怒=2 1,OB=E又MB=.COSNOBM=胃口，.乙OBM=1 5,故4OBC=60,在4 OBC中，由余弦定理可得Co=BO2+BC2-2B0-BCcos600=8-23AC的最大值为J 8 2，弓+1，故。

错误.故选：BC.在ABCD中，由余弦定理可得CD=2,再由正弦定理可得NBCD,即可判定B；依题意可得点A的运动轨迹为反而，故 AAB的大小不能确定，且 的 面 积 有 最 大 值，即可判定/C；令XABD的外接圆圆心为0,求得C 。