《高数第三章一元函数的导数和微分》.docx
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第三章 一元函数的导数和微分【字体： 】【】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题 二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） （2） 三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。
解 闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数 解 例4、设函数 解 同理可以得到 例5、求 例6、求函数的导数 解 例7、求函数的导数 解 四、常数和基本初等函数的导数公式 五、导数的几何意义 表示曲线y=f（x）在点处的切线的斜率，即 切线方程为 法线方程为 例8、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 六、可导与连续的关系 1.定理 凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导 我们有：不连续一定不可导 极限存在、连续、可导之间的关系 2.连续函数不存在导数举例 例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性 解： 例10、 P115第10题 设，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导 解：（1） （2） 七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导； 4. 5.求导数最基本的方法：由定义求导数. 6.判断可导性 3.2 求导法则 3.3 基本求导公式 一、和、差、积、商的求导法则 1.定理： 如果函数在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且 推论 2.例题分析 例1、求的导数 解 例2、求的导数 解 例3、求y=tanx的导数 解 同理可得 例4、求y=secx的导数 解 同理可得 例5、131页例2 设，求. 二、反函数的导数 1.定理： 如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数在对应区间内也可导，且有 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 2.例题分析 例6、求函数y=arcsinx的导数 解 同理可得 例7、求函数的导数 解 特别地 三、小结：初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u=u（x），v=v（x）可导，则 例8、127页1题（6）（14）（15） （1）1题（6）小题 解： （2）1题（14）小题 解： （3）1题（15）小题 解： 例9、115页3 若一直线运动的运动方程为，求在t=3时运动的瞬时速度。
解： 例10、115页5 求曲线的与直线y=5x的平行的切线 另一条求出来是 四、分段函数的求导问题 1.114页定理：设 （1）如果函数在上连续，在上可导，且当时，则 （2）如果函数在上连续，在上可导，且当时，则 2.分段函数的求导问题举例 例11、 116页11 求下列分段函数f（x）的： （1） 解： 五、复合函数的求导法则 1.复合函数的求导法则 定理 如果函数在点x0可导，而y=f（u）在点可导，则复合函数在点x0可导，且其导数为 即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导链式法则） 推广 设，则复合函数的导数为 2.例题分析 例1.求函数y=lnsinx的导数 解 ∵y=lnu，u=sinx. 例2.已知y=（2x2-3x+5）100，求 例3.求y=sin5x的导数 例4.求函数的导数 解 例5.（教材133页习题3.3，1题（2）小题）求的导数 例6.求的导数 例7.求的导数（a>0） 例8.求函数的导数 解 例9.（教材128页习题3.2，3题（5）小题）求的导数 例10.（教材128页习题3.2，3题（7）小题）求y=（sinnx）（cosnx）的导数 例11.求的导数 例12.求的导数 例13.求的导数 例14.求的导数 例15.（教材习题3.2，8题）已知在点x＝1可导，求a，b。
幂指函数、抽象的复合函数的求导例题 一、幂指函数求导 例1： xx 例2： y=（sinx）cosx求y＇ 二、抽象的复合函数求导 例3：设f（u）可导，求下列函数的导数 （1）f（lnx）+lnf（x） 解： （2）y=f（e-x） 解： （3）y= ef（x） （4） （5） 3.4 高阶导数 一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度 设s=f（t），则瞬时速度为v（t）=f＇（t） ∵加速度α是速度v对时间t的变化率 ∴a（t）=v＇（t）=[f＇（t）]＇ 定义 如果函数f（x）的导数f＇（x）在点x处可导，即 存在，则称（f＇（x））＇为在点x处的二阶导数 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数, 例4：y=3x2+sinx 一般地，函数f（x）的n-1阶导数的导数称为函数f（x）的n阶导数，记作 相应地，f（x）称为零阶导数；f＇（x）称为一阶导数 例5：求下列函数的二阶导数： （1）y=ax+b （2）y=cos nx； （3）y=esinx 二、对于某些特殊的导数的高阶导数是有规律的。
例6：求下列函数的n阶导数 （1）y=ex （2）y=x5 例7：设y=xμ求y（n） 解： 用数学归纳法可以证明： 特别，当μ=n时，即y=xn，其n阶导数 y（n）= （x n）（n）=n! 例8： 例9：设y=（x2+1）10（x9+x3+1），求y（30） 例10：设y=sinx，求y（n） 解 …… 同理可得 注意：求n阶导数时,求出1——3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.（数学归纳法证明） 例11：设f（x）的n-2阶导数，求f（n）（x） 3.5 函数的微分 问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x0变到x0+△x， ∵正方形面积 ∴ 是△x的线性函数且为△A的主要部分， 是△x的高阶无穷小，当|△x|很小时可忽略 微分的定义 定义：设函数y=f（x）在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，如果 成立（其中A是与△x无关的常数），则称函数 y=f（x）在点x0可微，并且称A·△x为函数 y=f（x）在点x0相应于自变量增量△x的微分， 记作 微分dy叫做函数增量△y的线性主部。
微分的实质） 可微的条件 定理：函数f（x）在点x0可微的充要条件是函数f（x）在点x0处可导，且 通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分，记作dx，即dx=△x 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数，导数也叫“微商” 微分的几何意义 几何意义:（如图） 当△y是曲线的纵坐标增量时，dy就是切线纵坐标对应的增量，当|△x |很小时，在点M的附近，切线段MP可近似代替曲线段MN 微分的求法 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分 1.基本初等函数的微分公式 2.函数和、差、积、商的微分法则 例1：设，求dy 例2：，求dy 例3：，求dy 微分形式的不变性 设函数y=f（x）有导数f＇（x） （1）若x是自变量时，dy= f＇（x）dx （2）若x是中间变量时，同样有 结论：无论x是自变量还是中间变量，函数y=f（x）的微分形式总是，这就是微分形式的不变性 例4： 设y=sin（2x+1），求dy 解法一： 解法二：∵y=sinu,u=2x+1 ∴dy=cosudu=cos（2x+1）d（2x+1） =cos（2x+1）·2dx=2cos（2x+1）dx 例5（P144、例6（1））: 设函数f（u）可微，求函数y=f（lnx）的微分： 解： 例6：求 例7（P144、例7）：求 利用微分计算函数的近似值 求f（x）在点x=x0附近的近似值； 例8：计算的近似值。
解： 3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关。
