2021届全国高考数学模拟试卷(理科)(四)(全国Ⅲ卷)(含答案解析).pdf

2021届全国高考数学模拟试卷（理科）（四）（全国川卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合u=1,2,3,4,5,6,M=1,3,5 ,则=()A.2,4,6 B.1,3,5 C.1,2,4)D.U2.若i(x+yi)=3+4i,x,yE R,则复数x+y i的模是().A.2 B.3 C.4D.53.化i.间 ；-si-n-2-35-o-72 =/)sin200 )A.-B.一；C.12 2D.14.对于直角坐标平面内的任意两点油容柿碱、腾J；，定义它们之间的一种“距离”1|4即|=|厢一闯出依-，粒 给 出 下 列 三 个 命 题：若点 C 段 AB上，则|AC|+|C5|=AB；在力BC中，若/C =90则 114cli+=|MBU；在ABC中，|/1C|+|CB|AB.其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.35.设随机变量 f N(0,1),记=P(f%),贝 l|P(-l f 1)等于()A.幽誓二)B.2 0(-1)-1 C.2(1)-1 D.0(1)+0(-1)6.命题p：若直线人：x+ay=1与直线，2：ax+y=0平行，则a1；命题q：0,使得y=cos3x的最小正周期小于玄 则下列命题为假命题的是（）A.p B.q C.p A q7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A.32B.16+1 6 C.48D.p V q做校图做 左 视图D.16+32 及8.已知椭圆?+?=1上有相异的三点A,B,C,则S-BC的最大值为()A.延 B.3&C.也 D.3V62 29.若ABC的面积为9(a2+c2 /)2),且/C 为钝角，贝此8 的度数以及?的取值范围为()A.乙B=60,(6(1,+8)B,Z.B=30,(6(1,+00)C.4B=60,f G(2,+8)D.乙B=30,;6(2,+oo)10.已知向量a,b满足Q 2b=0,(a b)b=2,则 网=A.：B.1 C.V2 D.211.已知双曲线C：条l(a 0,b 0)的左，右焦点分别为F1，F2.点尸是直线y=?与双曲线C 的一个交点，若 R P F 2,为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为()A.J B.上更 C.1+V2 D.1+V 52 212.己知定义在R 上 的 增 函 数 满 足/(-X)+/(%)=0,若刀 1，乂 2，3 6 R，且1 +x2 0,x2+x3 0,X3+X 1 0,则，(%1)+/(工 2)+。

3)的 值()A.一定大于0 B.一定小于0 C.等于0 D.正负都有可能二、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.2020年新型冠状病毒疫情期间，某机构调查了甲、乙两所医院各10名治愈出院患者的住院天数，绘制成茎叶图如图所示，则甲、乙两所医院各10名 治 愈 出 院 患 者 的 住 院 天 数 的 中 位 数 之 和 是.甲8 99 03 5 00 2 6 I7 8 90 0 2 260 114.己知数列 即 的前n 项和Sn=2n-l(n G/V),则(14=15.在d B C 中，己知4 b=l,ABC的外接圆半径为1,则=；16.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1：2,则它们的体积是.三、解答题(本大题共7 小题，共 82.0分)17.已知数列 斯 6 /7*)的首项与=1,前”项和为S“.设；I和 k 为常数，若对一切正整数，均有111s =成立，则称此数列为“4-小 数列 n+l n AUn+l(1)若 等 差 数 列 是“入 一 1”数列，求兀的值;(2)若数列 册 是 受 一2”数列，月.an 0,求数列5 的通项公式;(3)对于给定的;I,是否存在三个不同的数列 斯 为“4-3”数列，且an2 0?若存在，求出;I的取值范围；若不存在，说明理由.18.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-4 B C D中，乙4 B C =90 ,S A，面AB C AS Z =AB =B C =1,*(1)求四棱锥S -4 8C D的体积;(2)求证：B C 1 面&4 8；(3)求S C与底面ABCD所成角的正切值.19.如 图,直 线/：y=x+b(b 0),抛物线C：y2=2 px(p 0),已知点P(2,2)在抛物线C上,且抛物线C上的点到直线/的距离的最小值为九2.4(1)求直线/及抛物线C的方程;(2)过点Q(2,l)的任一直线(不经过点P)与抛物线C 交于A、B 两点，直线AB与直线/相交于点例，记直线PA,PB,的斜率分别为七，k2,的.问：是否存在实数九使得七+七=入心？若存在，试求出4的值；若不存在，请说明理由.20.2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5 次全区竞赛，学生如果其中2 次成绩达全区前20名即可进入省队培训|,不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5 次竞赛.规定：若前4 次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5 次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前 20名的概率都是/每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.(1)求该学生进入省队的概率.(2)如果该学生进入省队或参加完5 次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为求f 的分布列及f 的数学期望.2 1.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线A排，在路南侧沿直线，2排，现要在矩形区域A8C。

内沿直线将，1与 接通.已知4B=60m,BC=8 0 m,公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2 万元，设 EF与 A8所成的小于90的角为a.(I)求矩形区域ABC内的排管费用W关于a 的函数关系；(n)求排管的最小费用及相应的角a.1%=4-1后2(t为参数)，以坐标原点为V2 4yr极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 的圆心为(1,0),且过点“(15).(1)求直线/和圆C 的极坐标方程；(2)a(0 a|7n|(|x-1|-2x+3|)恒成立，求实数式的取值范围.【答案与解析】1.答案：A解析：试题分析：直接根据集合的补集的定义以及条件，求出Q M.集合U =1,2,3,4,5,6 ,M =1,3,5 ,则QM=2,4,6 ,故选A.2.答案：D解析：i（x+yi）=y+xi=3 +4i,（x=4,|y =-3 x+y i=4 3 i.x+yi=J 42 +（-3/=5.3.答案：B1-COS700 1解析：解：原式=_ C0S7一 SE20sin200 2sin200-2sin20 2故选：B.首先由余弦的二倍角公式把s i n 2 3 5。

降暴，再由正余弦互化公式可把c o s 70转化为s i n 2 0问题解决.本题考查余弦的二倍角公式及正余弦互化公式.4.答案：B解析：新定义的应用.此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求.属于中档题目.本题的易错点在于不等式：|a|+|b|2|a+b|忘记等号也可以成立.解:对于直角坐标平面内的任意两点A1,）,8（次/2），定义它们之间的一种“距离”：M B|=|x2-“1 1 +仅2 -y J对于若点C段A 3 上,设 C点坐标为（X o，y o）,沏在与、&之间，M）在%、%之间,则|4C|+CB=|x0-x j +y0-y i I+x2-x0+|y2-y o l =%fl+伍 一%1=M B 成立,故正确.对于平方后不能消除%），7o 命题不成立；对于在 A B C 中,AC+CB=|x0-X x|+仇 +x2-x0 +y2-y0 I Q o -匕）+（x2-&）l+I O o-y i）+（y2-y0）l=%fl+l y2-7i l =|AB|.不一定成立 命题成立，故选：B.5.答案:C解析：本题考查正态分布的应用，解题时要认真审题，是基础题.由题意知P(-l f 1)=P(f 1)-P(f -1)=1)-1-P(f 1),由此能求出结果.解：T随机变量fN(O,1),记中(x)=P(f x),P(-l f 1)=1)-P(f -1)=P(f 1)-1-P代 0 时，若7=秒 4 即可，因 此 强 0,使得y=cos3x的最小正周期小于p是真命题.则下列命题为假命题的p A 0 时，若T=-bsin02y C gcos/bsiTi)，(0 W%V 4&2汗)，是椭圆a +昌=1上三个不同的点，bz直线/：y=-b,&,Bi,Ci分别是A,B,C在直线/上的射影，则(acos%,b),当(QCOS4,一 匕)，的(。

05既，b),SfBC=S 梯形 44遥遇+S 梯形 881CC-S 梯形4 4CC，111=2(M&I+旧为|)|&当|+5(阳当|+|c c】|)|B iC i|-+|C C 1|)|&G|11=-()acos01 acosd3)=|ahsin(02-%)+sin(03-02)-sin(03-%),因为0 W%V 82V o 3 V 2TT,所以3-%W (0,2TT),令 a =2%，B=2,则a+1=03-01 e(0,2T T),所以 SBC=absina+sinp-sin(a+/?),令 p=sina+sinp sin(a+/?)a+p a p a+0 a+0=2sin-cos -2sin-cos-2 2 2 2=2sin(cos cos)2sin竺(1 co s)=4 s in sin2 =8sin3 cos2、2 2 7 2、2 7 2 4 4 4所以p2 j3rV B Tt,1B=-71c sinC sinC sinC 2由正弦定理可得，片加厘，,c e G兀号），tanCX1 -x2,则f(%i)/(-X2),B P/(X l)f G 2)，则f(X l)+f 2)0.同理可得f Q i)+f(X 3)0 J(x2)+/(x3)o./(%)+/(亚)+f(X 3)0-故选：A.由题意判断出函数的奇偶性，由亚+不 0 移向得X i -x2,再结合函数的单调性得f(X i)+/(如)0,利用类比推理得/(/)+/。

3)0./2)+/3)0,三个式子相加后判断符号即可.本题考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用，以及类比推理的应用，属于中档题.13.答案：2 2解析：解：甲医院1 0 名治愈出院患者的住院天数分别为8,9,9,1 0,1 0,1 2,1 3,1 5,1 6,2 2,甲 的 中 位 数 是 誓=1 1;乙医院1 0 名治愈出院患者的住院天数分别为7,8,9,1 0,1 0,1 2,1 2,1 6,2 0,2 1,乙的 中 位 数 是 等 =1 1.故中位数之和为2 2.故答案为2 2.把数据按从小到大排序，利用中位数定义分别求出甲、乙两所医院的中位数再相加即可得到结果本题考查中位数需按大小排序，1 0 个数取中间两数的平均值即是中位数，属于基础题.14.答案：8解析：解：.数列 an 的前项和S n =2 n-l(n eN*),a4=S4-S3=(24-1)-(23-1)=8故答案为：8由题意可得a4 =S4-S3,代值计算可得.本题考查等比数列的前项和与通项的关系，属基础题.15.答案：立2解析：解：由正弦定理可得：a=2 R s i n力=2 xl xs i n g =遮，s 讥B =2=；,J2 R 2 X1 2由Q=百 1 =b，可得B为锐角，从而解得：B=3故解得：0=兀 _4_ 8=兀 _曰 一?=5 o Z则SM B C=|cibsinC=|x V 3 x 1 x s i n故答案为：立.2由正弦定理可求Q=2 RsinA=V 3 sinB=2=：,由大边对大角Q=V 3 1 =6,可得3为锐角，从而解得8,C,利用三角形面积公式即可得解.本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形面积公式等知识的应用，属于基本知识的考查.16.答案：上 而解析：略17.答案：解：（l）/c =l 时，an+1=Sn+1-Sn=A an+。