第一章 集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系 考纲要求考纲研读1.集合的含义与表示．(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系．(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算．(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.1.集合是由元素组成的，从集合中元素的特征出发，可找到元素与集合及集合与集合之间的关系．2．对于集合的运算，可充分借助于韦恩(Venn)图或数轴的直观性．3．对于与集合运算有关的新概念问题，通过信息迁移构造出符合要求的情景是关键. 1．集合的含义与表示互异性无序性(1)集合元素的三个特征：_______、________和________．(2)元素与集合的关系是_____或________，用符号“___”或“____”表示．∉描述法(3)集合的表示法：_______、_______、图示法．(4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N＋)；整数集 Z；有理数集 Q；实数集 R.确定性属于不属于∈列举法 2．集合间的基本关系A⊆B⇔若 a∈A，则 a∈B(1)对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中任何一个元素都是集合 B 的元素，则称集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A，记作 A⊆B 或 B⊇A.用符号表达即“_______________________”．(2)空集及其性质①空集是任何集合的______，其中“任何集合”当然也包括了∅，故有∅⊆∅.子集真子集②空集是任何非空集合的________，即∅ A(而 A≠∅)．(3)子集的有关性质①A＝B⇔________________.②A⊆B，B⊆C⇒______.A⊆C③若集合 A 有 n 个元素，则 A 的子集数为____.2nA⊆B 且 B⊆A 3．集合的运算及其性质(1)集合的运算{x|x∈A 且 x∈B}①交集：A∩B＝_________________．②并集：A∪B＝_________________．③补集：∁U A＝_________________．(2)集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A、A∪A＝A、A∪B＝B∪A、A∪B＝A ⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅、A∩A＝A、A∩B＝B∩A、A∩B＝A ⇔A⊆B；补集的性质：A∪∁U A＝U、A∩∁U A＝∅、∁U (∁U A)＝A、∁U (A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)、∁U (A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．{x|x∈A 或 x∈B}{x|x∈U 且 x A} 1．已知全集 U＝R，则正确表示集合 M＝{－1,0,1}和 N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()B2．集合 A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则 A∩B是( )CA．(1，－1)B.x＝1y＝－1C．{(1，－1)}D．{1，－1} D4．设集合 A＝{x|x>3}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则 A∪B＝( )A．∅C．{x|－21} 3．(2012年湖南)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝( ) A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,0}B B 5．(2011届广东汕头水平测试)设全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{0,3,4}，B＝{1,3}，则(∁UA)∪B＝( ) A．{2} B．{1,2,3} C．{1,3} D．{0,1,2,3,4}解析：∵∁UA＝{1,2}，B＝{1,3}，∴(∁UA)∪B＝{1,2,3}． 考点1集合间的基本关系例1：集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若 B⊆A，求实数 m 的取值范围；(2)当 x∈R 时，没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立，求实数 m 的取值范围．需m＋1≥－2，2m－1≤5，可得2≤m≤3. 综上m≤3 时有B⊆A.解析：(1)①当m＋1＞2m－1，即m＜2 时，B＝∅.满足B⊆A.②当 m＋1≤2m－1，即m≥2 时，要使B⊆A 成立， (2)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立．即 A∩B＝∅.①若 B＝∅即 m＋1＞2m－1，得 m＜2 时满足条件．②若 B≠∅，则要满足条件有：m＋1≤2m－1，m＋1>5，或m＋1≤2m－1，2m－1<－2，解得m＞4.综上所述，有m＜2 或m＞4. (1)空集是任何集合的子集，因此当 B⊆A 时需考虑 B＝∅的情形；(2)当A∩B＝∅时也需考虑 B＝∅的情形，如果当集合B 不是空集，要保证 B⊆A，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3)虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此本题还是综合性很强的． 【互动探究】1．(2011 年安徽)设集合 A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足 S⊆A 且 S∩B≠∅的集合 S 的个数为()BA．57B．56C．49D．8D2．(2011 年浙江)若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>1}，则( )A．P⊆QB．Q⊆PC．∁R P⊆QD．Q⊆∁R P 考点2集合的运算例2：设全集 U＝{x|x≤20 的质数}，M∩∁U N＝{3,5}，N∩∁U M＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，求集合 M 与 N.解析：如图D1，由(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，可知M，N 中没有元素2,17.图D1 由N∩∁U M＝{7,19}，可知N 中有元素7,19，M中没有元素7,19.由M∩∁U N＝{3,5}，可知M 中有元素3,5，N中没有元素3,5.剩下的元素11,13 不在M∩∁U N、N∩∁U M、(∁U M)∩(∁U N)三部分中，只能11∈(M∩N)，13∈(M∩N)．∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．集合问题大都比较抽象，解题时若借助Venn 图进行数形分析，往往可将问题直观化、形象化，使问题灵活、直观、简捷、准确地获解，当然本题还要注意的就是1 既不是质数也不是合数． 【互动探究】 3．(2012年湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|02}D 根据图形语言可知定义的 A#B 可转化为 A#B＝∁A ∪B(A∩B)．所以需要求出和，借助数轴求出并集与交集．解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出． 【互动探究】5．部分实数构成的集合 A 满足：①任两个不同元素的和仍然是 A 的元素；②任两个不同元素的积仍然是 A 的元素；③任一元素的 n 次幂仍然是 A 的元素(n∈N)．这样的有限集 A 有()BA．无限多个B．2 个C．3 个D．4 个 6．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝ {1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( ) A．0 B．2 C．3 D．6D 易错、易混、易漏1．不清楚集合元素的性质致误 正解：1－x≥0，x≤1；x∈[2,11]⇒1≤x－1≤10⇒0≤lg(x－1)≤1.A∩B＝[0,1]．故选C.C 【失误与防范】对于集合问题，首先要确定集合的元素是什么(数集、点集或某类图形)，然后确定处理此类问题的方法．本题很容易错误地认为是求两函数定义域的交集，实际上集合A是函数 1．对连续数集间的运算，要借助数轴的直观性，进行合理转化；对离散数集间的运算，要借助 Venn 图，这是数形结合思想的具体体现．2．本小节的重点是交集与并集的概念．只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难．可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程(x＋2)(x＋1)＝0 的解集，则是求 方程 x＋2＝0 和 x＋1＝0 的解集的并集；求不等式组的解集是求各个不等式的解集的交集，求不等式(x＋2)(x＋1)>0 的解集，则是求x＋2<0，x＋1<0和x＋2>0，x＋1>0的解集的并集．1．注意利用分类讨论的思想解决集合之间的关系和含有参数的问题．如在 A⊆B 的条件下，须考虑 A＝∅和 A≠∅两种情况，要时刻注意对空集的讨论．2．在集合的运算过程中要注意集合元素具有互异性． 3．属于符号“∈”、不属于符号“∉ ”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系符号“ ”“⊇”、包含于(被包含)关系符号“”或“⊆”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起充分注意，不能用错，不要出现把 a∈{a}表示成 a⊆{a}或 a {a}之类的错误；又如{0}是含有一个元素的集合，∅是不含任何元素的集合，因此，有∅⊆{0}，不能写成∅＝{0}或∅∈{0}． 。
