2024年上海市春季高考数学卷含答案.docx
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2024年上海市春季高考数学真题试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．log2x的定义域 ．2．直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 ．3．已知Z1+i=i，则Z= ．4．（x﹣1）6展开式中x4的系数为 ．5．三角形ABC中，BC=2,A=π3,B=π4，则AB＝ ．6．已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 ．7．数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为 ．8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ．9．已知f(x)=x2,g(x)=f(x),x⩾0-f(-x),x<0，求g（x）≤2﹣x的x的取值范围 ．10．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且AB1⋅BC-AD1⋅DC=5，求异面直线AA1与BD的夹角 ．11．正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 ．（精确到0.01）12．a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，满足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b1，b2，b3，b4}有 对．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（ ）A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c14．空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是（ ）A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nB．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥βC．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nD．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β15．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立C．事件A与事件B∪C互斥 D．事件A与事件B∩C相互独立16．现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f'（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（ ）①存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点②存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点A．①②都成立 B．①②都不成立C．①成立②不成立 D．①不成立②成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．已知f（x）＝sin（ωx+π3），ω＞0．（1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．18．如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC．（1）证明：PA⊥BC；（2）若圆锥侧面积为3π，BC为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．19．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆Γ:x26+y22=1上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点A的横坐标为2，求|AF1|的长；（2）设Γ的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围．（3）若点A在x轴上方，设直线AF2与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF1延长线与Γ交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得F1A+F1B+F1C=λ(F2A+F2B+F2C)(λ∈R)成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．21．记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a）⊆[﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．参考答案1．（0，+∞） 2．45° 3．﹣1﹣I 4．15 5．32+63 6．12 7．（﹣∞，﹣4）8．3 9．（﹣∞，1] 10．arccos512 11．2.73 12．4813．B 14．A 15．B 16．D17．（1）解：当ω＝1时，fx=sinωx+π3=sinx+π3．因为x∈[0，π]，所以x+π3∈π3,4π3，根据函数y＝sinx在[π3,π2]上单调递增，在[π2,4π3]上单调递减，所以当x+π3=π2时，即x=π6fx取得最大值1，x+π3=4π3即x=πfx取得最小值sin4π3=-sinπ3=-32.综上函数的值域为-32,1．（2）解：由题知T=2πω=π，所以ω＝2，即fx=sin2x+π3，因为 x∈[π，a] ，所以2x+π3∈7π3,2a+π3根据函数y＝sinx图像可知f(x)在7π3,2a+π3三个零点可得2a+π3≥5π2a+π3<6π，解得7π3≤a<17π6，综上a的取值范围为[7π3,17π6)．18．（1）证明：取BC中点O，接AO，连PO如图所示：因为AB＝AC，所以AO⊥BC，同理PB＝PC，则PO⊥BC，又因为PO，AO⊂面PAO，PO∩AO＝点O，所以BC⊥面PAO，又PA⊂面PAO，所以PA⊥BC；（2）解：因为圆锥侧面积为3π且BC＝2， 所以r=1，S侧=πrl=3π，所以l=PA=3，由（1）可得PO⊥BC，所以PO=PB2-OB2=2又因为PO2+OA2=PA2，所以PO⊥OA，所以PO⊥面ABC，所以以O为坐标原点，OB为x轴，OA为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系如图所示：则P0，0，2，A0，1，0，B1，0，0，C-1，0，0，AP→=0，-1，2，AB→=1，-1，0，AC→=-1，-1，0，设平面PAB的法向量为m→=x,y,z，平面PAC的法向量为n→=x0,y0,z0则AP→·m→=-y+2z=0AB→·m→=x-y=0，令y=2则x=2,z=1所以m→=2,2,1，同理可得n→=-2,2,1，所以cos
