单元质量测评2.docx

第二章单元质量测评本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150 分，考试时间120分钟.第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .(AB+MH) + (30+BC) + 0A/化简后等于()B. ABA. BCC. ACD. AM答案C—A—►—A—A―►―►解析原式=AB+BO+OM+MB+BC=AC.—►―►―►2.设点 A(-l,2), B(2,3), C(3, 一 1),且人D=2AB—3BC,则点 D的坐标为()A. (2,16)B. (-2, -16)C. (4,16)D. (2,0)答案A—►—►―►解析 设力,由题意可知AD=(x+l, y-2), AB=(3,1), BC= (1，-4),所以 2AB—3BC=2(3,1)—3(1, —4) = (3,14),x=2, )'=16.x=2, )'=16.所以x+l=3, c i 所以b，—2=14,3.若向量 0=(1,1), b = (2,5), c=(3, x),满足条件(8a—b) c=30,贝U=()B. 5A. 6即(工+6)。

一2)+ ()，+1)()，一 3)=0, 所以寸一2y—3=0,所以y=3或y= —1.当 y=3 时，工=一6,于是BC=(—6,3), AC=(0,4), BD=(~8,0).所以\AC\=4, |BD| = 8,—► —►所以 S 四边形ABco=^h4C||8O|= 16.—►—►―A当)，=一1 时，尤=2,于是有BC=(2, -1), 4C=(8,0), BD=(0,-4).x= —6,尸3或|综上可知，所以|/4C| —8, |BD|—4, S 四边形abcd= 16. x= 2 .AC= (cosa—3, sina).BC= (cost, sina—3),―►—A又..・ACBC= — 1,cosa(cosa—3)+sina(sina—3)= — 1,.L coscc+sina=弓，、4两边平方，得 l+2sina-cosa=g. I，S四边形mcd= 16.20.(本小题满分12分)平面直角坐标系中，已知点A(3,0), 3(0,3),C(cosa, sina).(1) 若AC BC=_1,求 sinacosct 的值；―►―►―►—►(2) 若|6(0, 7C),求OB与OC的夹角. 解 (1)'.・/4(3,0), B(0,3), C(cosa, sina),.L sinacoscc=—.L sinacoscc=—5?8-(2) OA + 0C= (3+cosa, sina),|OA + OC|=V^,(3 + cosa)2+sin2a= 13, /.cosa=^, \*6(G(0, 7i),・ _5 • _也• • a—3， sin。

— 2 ，:.C:.C傅,平］'OB OC=岑,一一 3巾・3 nr\0B0C—-?也..COS〈OB, OC) ——TTTT— c ,——3X1 Z\OB\\OC\IT・・.08与OC的夹角为&21 .（本小题满分12分）如图，在△OAB中，P为线段AB上一点,―►—►―►且 0 P=xOA+yOB.(1) 若AP=PB,求 x, y 的值；—►—►—►—►—► —►(2) 若AP=3PH, |Q4|=4, |可=2,且0A与8的夹角为 60°,求OPAB的值.解(1)若AP=P8,则OP=§OA+§OB, 故 x=y=^.(2)若AP=3PB,则OP = OA+^AB = OA+^OB~OA)=^OA+^OB,opab=Roa+§o" (ob-oa)=_?0人2_如.OB+^OB21 I3= --X42-2X4X2Xcos60°+4X22=-3.22.(本小题满分 12 分)已知向量 q=(cosg, sina)0=(cos”, sin/?), 且力满足关系\ka+b\=^3\a-kb\(k>0).(1) 求与力的数量积用k表示的解析式必)；(2) a能否和b垂直？ a能否和b平行？若不能，则说明理由；若 能，则求出相应的化值；(3) 求。

与力夹角的最大值.解(1)由已知 \a\=\b\=l.V\ka+h\=yl3\a-kb\9 「.(奴i+方尸=3(一kb)2,A^lal2+2ka- b+|Z>|2=3(|a|2—2ka- b+^l&l2),好+1・・8ku，b=2E+2, . •fi^k)=U'b=—日，~(A>0).(2)・.0力=犬幻>0,「.g与力不可能垂直.若a//b,由a b>0知g,力同向, 于是有 a-b=\a\\b\cosO=\a\\b\= 1,矽+ J即"p=l，解得k=2瑚A当k=2瑚时，a//b.bI I(3)设 q 与力的夹角为 0,则 cos0=j^pi=a-Z>= 4jt (fc>0), /-COS0 =如+£)』何+&XH步-粉+2］，•••当辱出即k=l 时，cosQ取到最小值为§又0OW9W180•.•a与b夹角〃的最大值为60C. 4D. 3答案C解析..W=(1,1), )=(2,5),...卯一万= (8,8) — (2,5) = (6,3). 又 V(8a—6)-c=30, /.(6,3)-(3, x)= 18+3x=30. .\x=4.4. 设非零向量〃，b, c满足\a\ = \b\ = \c\, a+b=c,则向量〃，b 的夹角为()A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°答案B解析 设向量a, b的夹角为0,则|c|2 = \a + b\2 = \a\2 + \b\2 +2|o||方|cos。

则 cos0= —又18()],所以 0=12()5. 设非零向量①b, c,若P奇+击+言，则演J取值范围为()A. [0,1]B. [1,2]C. [0,3]D. 11,31答案C解析'.并 W9右分别为a, b, c方向上的单位向量一•.当0, b, c同向时，|p|取最大值3, |p|的最小值为().—►—►6. 向量84 = (4, —3),向量8C=(2, —4),则△ABC 的形状为()A. 等腰非直角三角形B. 等边三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰直角三角形 答案C―►―►解析 VBA = (4, -3), BC=Q, -4),:.AC=BC-BA = (~2f -1),.\京8=(2,1)・(一2,4)=0,A ZC=90°,且|C4|=0, |CB| = 20, |C4洋|CB|.A /\ABC是直角非等腰三角形.A R7.在△ABC 中，若\AB\=]9 |AC|=S，\AB+AC\ = \BC\,则 一\BC\=( )项2A.c.:答案B・D.半解析由向量的平行四边形法则，知当\AB+AC\ = \BC\时，NA =A O90又\AB\=l, |AC|=",故ZB=60°, ZC= 30°, |BC] = 2,所以二7-\BC\|A8||8C|cosl20。

1二=_分\BC\8.如图，在矩形ABCD中，AB=W，BC=4,点、E为BC的中点，点F在CD上.若AB・AF=B 贝\\AE BF的值是（）I)BECB. 5+0D. 5_方A. —5—^/3C. 4+^3 答案B解析 如图，过点F作FGLAB于点G,因为AB•人F= |人印|AF|cos—A—A—►—►—►—►―►—►―>—►―►〈AB, AF> =\AB\-\AG\ =0，所以\AG\=\.AE-BF= (AB+BE)・(BC+ CF)—► ―► ―► ―► ―► ―► —► —►=AB BC+A8CF+8E BC+8E・CF=0一也 X(0—1) + 2X4 + O = 5 +寸，故选B.—►―*―►―►9. 已知点为△MC所在平面内一点，且O^ + B^OB^CAA.吏B. 2D. 4解析八 ab—寸一,*定顶=2X2 =_2,C. 20 答案BsinO=?, 「・ I" X2 X 2 X?=2.11. 设 0W〃v27i,已知两个向量0Pi=(cossin<9), OP2=(2+sin<9, 2—cos)，则向量P1P2长度的最大值是()A. V2B.寸C. 3^2D. 2^3答案C—►―►—►解析 ..・RP2=OP2-OPi = (2+sinO-cos。

2—cosO-sin)，—►| P\P21 =，(2+sin一cos)?+(2—cos"— sin JlO—8cos0 W3“.12. 已知为坐标原点，A, B两点的坐标分别为(《())，(()，a),—►—►—► ―►其中常数〃>0,点P段AB上，且AP=/AB(0WfWl),则O\ OP的 最大值为()A. aB. 2aC. 3aD. a2答案D―► ―► —►解析 AB=OB—OA = (0, o)—(“,0) = (—g, d),.\AP=tAB=(—at9 at).—►—►―►又P=OA+AP=(afO)+(—at, at) = {a—at, at),・.・ OA OP=a{a 一0 X 叫=疽（i 一 r）（o W，W1）.・・・当，=0时，O4OP取得最大值，为〃.第II卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填 在题中的横线上)13. 设向量力满足同=20, 6 = (2,1),且q与方的方向相反，则Q的坐标为・答案(一4, -2)解析 设"=(i, y), x<0, yVO,则 x—2y=0 且 /+尸=20,解 得工=—4, y=—2.即 〃=(—4, —2).—► ―>14. 在ZXABC中，角人，B, C所对的边分别为a, 4, c, ^AB AC―► ―►= BA BC=lf 那么 c=.答案8—► —► —► —►解析由题知，AB AC+BA BC=2,—► —► —► ―A —A ―► ―►—►―►^ABAC-ABBC=AB(AC+CB)=AB2=2^c=\AB\=yl2.15. 如图，在正方形"CD中，已知|曲|=2,若N为正方形内(含―A ―►边界)任意一点，则AB AN的最大值是・R答案4解析 VAB-AN= \AB\\AN\-cosZBAN, |AN|• cosZBAN 表示AN在―►—►—► —►人B方向上的投影，又|AB| = 2, AB AN的最大值是4.16. 已知向量 q=(1,1), b=(l, -1), c=(皿cosg, V2sina)(«eR),实数皿〃满足〃2g + 〃8=c,则(m~3)2+n2的最大值为.答案16(m+n=y/2cosa,解析由 ma~\~nb=c,可得＜ 厂. 故(/n+«)2+(m — m—n=yj2sina9〃)2=2,即m2+n2=l,故点M(m, 〃)在单位圆上,则点P(3,0)到点、M 的距离的最大值为OF+1=3+1=4,其中0为坐标原点，故(〃?一3)2 + /的最。