第76讲 立体几何核心模型之鳖臑几何体研究（原卷+解析）-高考数学二轮复习.docx

第76讲 立体几何核心模型之鳖臑几何体研究阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相时的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．一、鳖臑几何体中的垂直关系如图所示，鳖臑几何体中，平面，，于，于．(1)证明：平面； (2)证明：平面；(3)证明：平面平面； (4)证明：．二、鳖臑几何体中的空间角如图所示，设为与斜线的夹角，为与斜线在底面的射影的夹角，为与底面所成的角，为二面角的平面角，为直线与平面所成的角，为直线与底面所成的角，为直线与平面所成的角，则(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【例1】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，．(1)证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．【例2】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图所示，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接，，，．(1)求证：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面与面所成二面角为，求的值．【例3】如图，四边形为菱形，为与的交点，平面．(1)证明：平面平面；(2)若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．【例4】如图所示，在三棱台中，，，分别为，的中点．若平面，，，，求平面与平面所成的角(锐角)．第76讲 立体几何核心模型之鳖臑几何体研究阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相时的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．一、鳖臑几何体中的垂直关系如图所示，鳖臑几何体中，平面，，于，于．(1)证明：平面； (2)证明：平面；(3)证明：平面平面； (4)证明：．【证明】(1)因为平面，平面，所以．又，，所以平面．(2)因为平面，平面，所以．又，，所以平面，则．又，所以平面．(3)因为平面，所以平面平面．(4)因为平面，所以平面平面．又，所以平面，则．评注图形中异面直线与的距离等于线段的长度；异面直线与的距离等于线段的长度．二、鳖臑几何体中的空间角如图所示，设为与斜线的夹角，为与斜线在底面的射影的夹角，为与底面所成的角，为二面角的平面角，为直线与平面所成的角，为直线与底面所成的角，为直线与平面所成的角，则(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．证明：(1)．(2)．(3)．(4)；(5)过作于，连接，则平面，，．评注图形中二面角的平面角的大小等于，二面角的平面角的大小等于，二面角的平面角的大小等于，即．直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，即，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为．【例1】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，．(1)证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．【解析】因为底面，所以．由底面为长方形知．而，所以平面．平面，所以．又因为，点是的中点，所以．而，所以平面．由平面，平面，知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，．(2)因为底面，是阳马的高，又点是的中点，则点到底面的距离的，由于，所以．【例2】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图所示，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接，，，．(1)求证：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面与面所成二面角为，求的值．【解析】(1)由【例】1知平面，而平面，所以平面平面．而平面平面，，所以平面．由平面，平面，知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，，．(2)因为平面，底面，则平面与平面所成二面角的平面角即为与所成的角．设，则，在，，故．【例3】如图，四边形为菱形，为与的交点，平面．(1)证明：平面平面；(2)若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．(1)【证明】因为四边形为菱形，所以，又平面，所以几何体是鳖臑．由鳖臑几何体的垂直关系性质可知平面．又平面，所以平面平面．(2)【解析】因为，，，所以．因为三棱锥的体积为，所以鳖臑几何体的体积为．设，则，，，，所以的体积为，所以，所以的面积为3，的面积与的面积均为．故三棱锥的侧面积为．【例4】如图所示，在三棱台中，，，分别为，的中点．若平面，，，，求平面与平面所成的角(锐角)．【解析】由，分别为，的中点知．因为，所以．又平面，所以几何体是鳖臑几何体．设平面与平面所成的角为，，，则由鳖臑几何体的性质可知．又，，所以，故平面与平面所成的角(锐角)为．。