第77讲 排列组合21种解题策略（原卷+解析）-高考数学二轮复习.docx

第77讲 排列组合21种解题策略一、特殊元素和特殊位置优先策略某个或某几个元素要或不要排在指定位置，可先排这个或这几个元素，再排其他的元素（元素代先法）；也可针对特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其他的元素（位置化先法）．【例1】由0，1，2，3，4，5可以组成 个没有重复数字的五位奇数．二、相邻元素捆绑策略要解决某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆法，即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起做排列，同时要注意合并元素内部也必须排列．【例2】7人站成一排照相，其中甲、乙相邻且丙、丁相邻，共有 种不同的排法．三、不相邻问题插空策略解决元素相离问题，可先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入中间和两端．【例3】一台晚会的节目由4个舞蹈、2个相声和3个独唱组成，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有 种，（用式子表示）四、定序问题倍缩空位插入策略定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理．【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定（可以相邻，也可以不相邻），共有 种不同的排法．五、重排问题求幂策略允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置．一般地，个不同的元素没有限制地安排在个位置上的排列方法有种．【例5】把6名实习生分配到7个车间实习，不同的分法有（ ）A.种 B.种 C.种 D.种六、环排问题线排策略一般地，个不同元素做圆形排列，共有种排法．如果从个不同元素中取出个元素做圆形排列，共有种排法．【例6】8人围桌而坐，共有（ ）A.种坐法 B.种坐法 C.种坐法 D.种坐法七、多排问题直排策略一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究．【例7】8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有 种排法．（用式子表示）八、排列组合混合问题先选后排策略解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的方法.此方法与相邻元素捆绑策略相似．【例8】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 种不同的装法．九、小集团问题先整体后局部策略解决小集团问题，运用先解决整体排列组合问题，然后再处理局部小集团的策略．【例9】用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在1，5两个奇数之间，这样的五位数有 个．十、元素相同问题隔板策略将个相同的元素分成份（，为正整数），每份至少ー个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有种分法．【例10】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有 种分配方案．十一、正难则反总体淘汰策略有些排列组合问题，从正面直接考虑比较复杂，而从它的反面考虑，往往比较简捷，可以先求出它的反面结果，再从整体中将其淘汰．【例11】从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 种．【例12】6本不同的书平均分成3堆，每雄2本，共有 种分法．十三、合理分类与分步策略解含有约束条件的排列组合问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终．【例13】一次演唱会上共有10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌、2人伴舞的节目，有多少种选派方法？十四、构造模型策略一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题迎刃而解．【例14】马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的盏路灯，现要关掉其中的盏，但不能关掉相邻的盏或盏，也不能关掉两端的盏，满足条件的关灯方法有（ ）A．种 B．种 C．种 D．种十五、实际操作穷举策略对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往运用穷举法或画出树状图，会收到意想不到的结果．【例15】设有编号1，2，3，4，5的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将5个球放入这5个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有 种放法．十六、分解与合成策略分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案．【例16】正方体的个顶点可连成 对异面直线．十七、化归策略处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单的问题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题．【例17】人排成方阵，现从中选人，要求这人不在同一行，也不在同一列，不同的选法有 种．十八、数字排序问题查字典策略数字排序问题可用查字典法，查字典法应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，再根据分类计数原理求出其总数．【例18】由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的比大的数？十九、全错位排列构造递推关系策略所谓的递推法就是按照某种标准找出递推关系式，并求出取第一个值（或前几个值）时的各项，然后代入递推关系式，得出所要求的结果．用递推法，无论是解答数列问题还是解答排列组合问题，它们有一个相同之处，就是寻找——递推关系式．【例19】个人原来排成一列，现需重新站队．重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有 种．二十、复杂分类问题表格策略一些复杂的分类选取问题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表格法，则分类明确，能保证题中需满足的条件，能达到解决问题的效果．【例20】有红色、黄色、蓝色的小球各个，分别标有、、、、五个字母，现从中取个，要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？二十一、住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类元素不能重复，把不能重复的元素看作“客”，把能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解．【例21】名学生争夺项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 ．第77讲 排列组合21种解题策略一、特殊元素和特殊位置优先策略某个或某几个元素要或不要排在指定位置，可先排这个或这几个元素，再排其他的元素（元素代先法）；也可针对特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其他的元素（位置化先法）．【例1】由0，1，2，3，4，5可以组成 个没有重复数字的五位奇数．【答案】288【解析】由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置．先排末位，共有，然后排首位，共有，最后排其他位置，共有，由分步计数原理可得．二、相邻元素捆绑策略要解决某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆法，即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起做排列，同时要注意合并元素内部也必须排列．【例2】7人站成一排照相，其中甲、乙相邻且丙、丁相邻，共有 种不同的排法．【答案】480【解析】可先将甲、乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时将丙、丁也看成个复合元素，再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得，共有种不同的排法.三、不相邻问题插空策略解决元素相离问题，可先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入中间和两端．【例3】一台晚会的节目由4个舞蹈、2个相声和3个独唱组成，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有 种，（用式子表示）【答案】【解析】分两步进行：第一步，排2个相声和3个独唱，共有种；第二步，将4个舞蹈插人第一步排好的5个元素中间，包含首尾两个空位，共有种不同的方法．由分步计数原理可得，节目的出场顺序共有种．四、定序问题倍缩空位插入策略定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理．【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定（可以相邻，也可以不相邻），共有 种不同的排法．【答案】840【解析】解法一（倍缩法）：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有种不同排法．解法二（空位法）：设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的4人就座，共有种方法，其余的3个位置让甲、乙、丙坐，有1种坐法，则共有种不同的排法．解法三（插入法）：先排甲、乙、丙3个人，共有1种排法，再把其余4人依次插入，共有种不同的排法.五、重排问题求幂策略允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置．一般地，个不同的元素没有限制地安排在个位置上的排列方法有种．【例5】把6名实习生分配到7个车间实习，不同的分法有（ ）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法…依此类推，由分步计数原理可得，共有种不同的分法，故选B．六、环排问题线排策略一般地，个不同元素做圆形排列，共有种排法．如果从个不同元素中取出个元素做圆形排列，共有种排法．【例6】8人围桌而坐，共有（ ）A.种坐法 B.种坐法 C.种坐法 D.种坐法【答案】A【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有种坐法，即种坐法．七、多排问题直排策略一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究．【例7】8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有 种排法．（用式子表示）【答案】【解析】人排后两排，相当于人坐8把椅子，可以把椅子排成一排．前排甲、乙两个特殊元素有种排法，后排4个位置上的特殊元素丙有种排法，其余的人在个位置上任意排列，有种排法，则共有种排法．八、排列组合混合问题先选后排策略解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的方法.此方法与相邻元素捆绑策略相似．【例8】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 种不同的装法．【答案】240【解析】先从5个球中选出2个组成复合元素，共有种方法；再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内，有种方法．根据分步计数原理可得，装球的方法共有种．九、小集团问题先整体后局部策略解决小集团问题，运用先解决整体排列组合问题，然后再处理局部小集团的策略．【例9】用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在1，5两个奇数之间，这样的五位数有 个．【答案】8【解析】把1，5，2，4当作一个小集团与3排列，共有种排法，再排小集团内部，共有种排法．由分步计数原理可得，共有种排法．十、元素相同问题隔板策略将个相同的元素分成份（，为正整数），每份至少ー个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有种分法．【例10】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有 种分配方案．【答案】【解析】因为10个名额没有差别，把。