1999年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一．选择题：本大题共14小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 如图，Ⅰ是全集，M、P、S是Ⅰ的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )(A) (M∩P)∩S(B) (M∩P)∪S(C) (M∩P)∩(D) (M∩P)∪(2) 已知映射f：A→B，其中，集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 ( )(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(3) 若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)，f(a)=b，ab≠0，则g(b)等于 ( )(A) a(B) a－1(C) b(D) b－1(4) 函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=－M，f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a，b]上 ( )(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值－M(5) 若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 ( )(A) sinx(B) cosx(C) sin2x(D) cos2x(6) 曲线x2+y2+x－y=0关于 ( )(A) 直线x=轴对称(B) 直线y=－x轴对称(C) 点(－2，)中心对称(D) 点(－，0)中心对称(7) 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 ( )(A) 6cm(B) 6cm(C) 2cm(D) 3cm(8) 若(2x+)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则(a0+a2)2－(a1+a3)2的值为 ( )(A) －1(B) 1(C) 0(D) 2(9) 直线x+y－2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为 ( )(A) (B) (C) (D) (10) 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 ( )(A) (B) 5(C) 6(D) (11) 若sina>tga>ctga(－b>0)的右焦点为F1，右准线为l1若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是_______________(16)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长．要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有______种(用数字作答) (17)若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是____________(18) α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确一个命题：_________________________三．解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(19)(本小题满分10分)解方程－31gx+4=0(20)(本小题满分12分)数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=5Sn－3(n∈N)求(a1+a3+…+a2n－1)的值．(21)(本小题满分12分)设复数z=3cosθ+isinθ．求函数y=tg(θ－argz)(0<θ<)的最大值以及对应的θ值(22)(本小题满分12分)如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45º，AB=a．(Ⅰ)求截面EAC的面积；(Ⅱ)求异面直线A1B1与AC之间的距离；(Ⅲ)求三棱锥B1－EAC的体积．(23)(本小题满分14分)下图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．(Ⅰ)输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度(一对轧辊减薄率= )(Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗)．轧辊序号k1234疵点间距Lk(单位：mm)1600(24)(本小题满分14分)如图，给出定点A(a，0) (a>0，a≠1)和直线l：x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分．满分60分．(1) C (2) A (3) A (4) C (5) B (6) B (7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) D (14) C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(15) (16) 12 (17) (18) m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β三．解答题(19) 本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力．满分10分．解：设，原方程化为 y－y2+2=0 ——4分解得 y=－1，y=2． ——6分因为 ，所以将y=－1舍去．由=2，得lgx=2，所以x=100． ——9分经检验，x=100为原方程的解． ——10分(20) 本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识．满分12分．解：由 Sn=a1+a2+…+an知an=Sn－Sn－1(n≥2)，a1=S1， ——2分由已知an=5Sn—3得 an－1=5Sn－1—3． ——4分于是 an－an－1=5(Sn－Sn－1)=5an，所以 an=－an－1． ——6分由 a1=5S1—3，得 a1=．所以，数列{an}是首项a1=，公比q=－的等比数列． ——8分由此知数列 a1，a3，a5，…，a2n－1，…是首项为a1=，公比为的等比数列．∴ ( a1+a3+a5+…+a2n－1)=． ——12分(21) 本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力．满分12分．解：由得．由z=3cosθ+isinθ得tg(argz)=． ——3分故 y=tg(θ－argz) ——6分 ∵ ，∴ ． ——9分当且仅当=tgθ()时，即tgθ=时，上式取等号．所以当θ=时，函数y取得最大值． ——12分(22) 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ) 解：如图，连结DB交AC于O，连结EO．∵ 底面ABCD是正方形，∴ DO⊥AC．又 ∵ ED⊥底面AC，∴ EO⊥AC．∴ ∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， ——2分∴ ∠EOD=45º．DO=a，AC=a，EO=a·sec45º=a．故 S△EAC=a 2． ——4分(Ⅱ) 解：由题设ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC．又 A1A⊥A1B1，∴ A1A是异面直。
