数学手册第二章初等几何图形的计算与作图3.doc

§3 实用几何作图、、正多边形作图[已知边长 作正三角形] 已知 AB 等于边长.分别以 A,B 为圆心，AB 为半径画弧交于 C,连接 AC，BC， ABC即为 所求正三角形（图 2.3）.[已知边长 作正方形] 已知 AB 等于边长.以 AB 外任一点O 为圆心， OA 为半径画圆交 AB 于 E.连接 EO 并延长交圆于 F,连接 AF 并延长截取 AD=AB.分别以 B，D 为圆心，AB 为 半径画弧交于 C，连接 BC，DC，□ABCD 即为所求正方形(图 2.4).[已知外接圆作正五边形] 过圆心 O 作互相垂直的直径AB，CD，平分 OB 于 E，以 E 为圆心，EC 为半径画弧交 OA 于F，以 CF 为半径在 圆周上 顺次截段并连接各点，即为所求正五边形( 图 2.5).也可参考正十 边形作法(见图 2.11 中的虚线).[已知边长 作正五边形] 已知 AB 等于边长.以 A，B 为圆心，AB 为半径画两圆交于 C，D，连接 CD.以 D 为圆心，AB 为半径画圆，交 CD 于 E，交 A 圆于 F，交 B 圆于 G，连接FE，GE，并延长交 B，A 圆 于 H，I.分别以 H，I 为圆 心， AB 为半径画弧交于 J，连接 JI，IA，BH，HJ，连同 AB 即为所求正五 边形(图 2.6).[已知外接圆作正六边形] 以外接圆半径在其圆周上 顺次截段，并连 接各点，即为所求正六边形(图 2.7).[已知边长 作正六边形] 已知 AB 等于边长，分别以 A，B 为圆心，AB 为半径画弧交于 O，以 O 为圆心， AB 为半径画 圆.再按上法可作出所求正六边形(图 2.8).[已知外接圆作正七边形( 近似作法)] 以圆周上任一点 A 为圆心，以同圆半径为半径画弧交 圆周于 B，C，连接 BC，AO，交于 D.以 BD 为半径(作图时应略大于 BD)在圆周上 顺次截段，并连接各点，即为所求正七边形(图 2.9).[已知外接圆作正八边形] 过圆心 O 作互相垂直的直径AB，CD.分别 以 A，B，D 为圆心，任意 长为半径画弧交于 E，F，连接 EO，FO，并延长交圆于 G，H，I，J，顺次连接八点，即 为所求正八边形( 图 2.10).[已知外接圆作正十边形] 过圆心 O 作互相垂直的直径AB，CD，以 OB 为直径画 圆 E，连接 EC 交 E 圆于 F.以 CF 为半径在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正十边形 (图 2.11).[已知外接圆作任意正多边形(近似作法)] 将直径 AB n 等分(n 为边 数), 以 A，B 为圆心， AB 为半径画弧交于 C，连接 C 与第二个分点 E，并延长交圆于 D，以 AD 为半径在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正 n 边 形(图 2.12 中为正九边形).、、椭圆作图已知长短轴(2a,2b) 作椭圆，其方法如下：[轨迹法 ] 作长轴 AB=2a，短轴 CD=2b,相互垂直平分交于 O，以 D 为圆心，a 为半径画弧交 AB 于 21,F.在 1,两点钉上钉子，把一长度为 2a 的线的两端固定在钉子上，再用铅笔拉紧线，移 动铅笔所画出的曲 线即为椭圆(图 2.13).[焦点法] 同轨迹法一样 ，先画出点 21,F，将 AB8 等分，中间各点为 iK)71(.分别以 1为圆心， iAK为半径画弧，以 2F为圆心， B为半径画弧，两两相交于 M和 iN)6(i.再将这些交点连同 A，B 一起用光滑曲线顺次连接，即近似于所求椭圆(图 2.14).[压缩法 ] 用长短轴为直径画出两个同心圆，并将圆周12 等分( 小圆 分点 1～12，大 圆分点对应为 ).连接21~和 1－11,2－10,4－8,5－7,并延长，08,7,4251将 与 1－11,5－7; 与 2－10,4－8; 与41－11,5－7; 与 2－10,4－8 的交点(共 8 个)， 连同四个顶点一起，用光滑曲线顺次 连接，即近似于所求 椭圆 (图 2.15).[圆弧法 ] 作 长轴 AB=2a,短轴 CD=2b，相互垂直平分交于 O，作 OE=OA，以 C 为圆心， CE 为半径画弧交 AC 于 F，作 AF 的垂直平分线交 AB 于 G，交 CD 延长线于 I.作OH=OG，OJ=OI.分别以 I，J 为圆心，IC 为半径画弧，又分别以 G，H 为圆心，GA 为半径画弧，则四段弧相连即近似于所求椭圆(图 2.16).、、圆弧放样法在土木建筑工程中，由于受各种施工条件的限制，不能用圆规一转就画出圆弧，可采用下面方法在施工现场直接放大样.这种方法可在有限平面内放出任意大半径的圆弧实样，又便于工人同志掌握.[已知弦长和拱高作圆弧]方法 1作 AB 等于弦长，作 CO 垂直平分 AB，并使 CO 等于拱高， 连接 BC，作 BC 的中垂线 DE.作 ABC的平分线交 DE 于 E，在 ED 延长线上取 DF=DE，则 F 为 的 41分点.由对称性，F的对称点 'F也是 的 41分点.重复上述步骤，可得 的 ,3216,8各分点，将各分点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧(图 2.17).此方法概念明确，步骤较少，占地最少.方法 2作 AB 等于弦长，作 CO 垂直平分 AB，并使 CO 等于拱高 .作 BC 的中垂线 DF，截OE=CD.过 E 作 AB 的垂线交 DF 于 F，则 F 为 的 41分点.由对称性，F 的对称点 '也是 的 41分点.重复上述步骤 ，可得 的,3216,8各分点，将各分点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧(图 2.18).此方法步 骤最少 .[已知弦长和圆弧上任一点作圆弧] 已知 AB 为弦长，C 为已知圆弧上一点.以 BC 为边作角 .再以 AC 为边按相同方向作角ABCCB1. 为为1,,A上的点.当取 a 为一系列值时，便得到圆弧上一系列点，1C将各点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧(图 2.19).此方法最适于采用经纬仪、罗盘仪来测放半径很大的圆弧.、、几何作图问题所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形， 则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八 边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一 边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给 出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“ 几何三大问题”：1立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.2三等分角问题，即三等分一已知角.3化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.。