福师1203考试批次《高等数学(一)》复习题及参考答案.pdf

福师 1203考试批次高等数学 ( 一) 复习题及参考答案说明：本课程复习题所提供的答案仅供学员在复习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问福师 1203考试批次高等数学 (一)复习题及参考答案一一、单项选择题（每题2 分，共 20 分）1. ln xdx( ) A.lnxxxC B.ln xxC C.ln xx D.ln x参考答案： A 2. 设1( )arctanxf xtdt ，则( )fx( ) A 211x B tan x C cot x D arctanx参考答案： D 3. 函数( )的原函数为ln(5 )x. A.1x B.15x C.x D.5x参考答案： A 4. ( )ddfx( ) A.( )df x B.( )fx C.( )dfx D.( )f xC参考答案： A 5. 若22lim32xxxkx，则k（）A. 2 B.3 C.4 D.5参考答案： A 6函数 f(x)=lnx- ln(x-1)的定义域是（）A(-1,+) B(0,+) C (1,+) D(0,1) 参考答案： C 7极限xxx62tanlim0（）A0 B31C21D3 参考答案： B 8设 f(x)=arccos(2x)，则 f(x)=（）A211xB212xxC411xD412xx参考答案： D 9x=0 是函数 f(x)=xx2e的（）A零点B驻点C极值点D非极值点参考答案： D 10初值问题3|0dyd2xyyxx的隐式特解为（）A2213xyB226xyC22-5xyD22-10 xy参考答案： A 二、解答题（每题8 分，共 56 分）11. 2201xdxx参考答案：1ln 5212. 32sinlim1xxxx参考答案：利用洛必塔法则和等价无穷小来进行求解，结果为0. 13. 若21lim3sin(1)xxaxbx, 求值,a b. 参考答案： x 趋于 1 时，20 xaxb，利用洛必塔法则21112limlim323sin(1)cos(1)xxxxaxbxaxaxx，所以 a=1，b=-2. 14. 求函数1( )arctan2f xxx的间断点并确定其类型参考答案：2x是原函数的跳跃间断点15. 设2ln1xxyx，求y参考答案：22ln1121ln1xxxyxxxxx16. 设 y=x5x，求 dy. 参考答案：51555()5()5()xyxxydydx5x5x5x解：对原函数两边取对数得lny=lnxlnx1两边关于 x求导数得lnx+lnx+1yxlnx+1xlnx+117. 求不定积分dx)1xln(x参考答案：222222222211ln(1)ln(1)ln(1)22111 1ln(1)2111ln(1)12111ln(1)ln1221111ln(1)ln12422xxxdxxdxxxdxxxxxdxxxxxdxdxxxxxxCxxxxxC解：三、应用题（每题8 分，共 16 分）18将一长为 l 的铁丝截成两段， 并将其中一段围成正方形， 另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问这两段铁丝的长应各为多少？参考答案：2222,1,42114216412102,xxxxxxxxxyy解：设围成正方形的铁丝长则围成圆形的铁丝长为1-正方形的边长为圆形的半径为则正方形和圆形的面积和为y=xy=84令y=0 ，则y的驻点是 x=+4184x=是 的极小值点+44围成正方形的铁丝长则围成圆形的铁丝长为。

4+419. 欲做一个容积 100米 3 的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r 和高h 分别为多少时，所用材料最省？并求此时所用材料的面积参考答案：22222303300202300100100,2002,(0)2002,1000,10010010020030 10.r hhrAArrhrrrArrArrhrArr2解：设所用材料面积为则得唯一实驻点故当（米），（米）时所用材料最省此时（米 ）四、证明题（ 8 分）20. 设( )(1) ( )f xxg x，且( )g x在点1x处连续，证明：( )fx在点1x处可导. 参考答案：1111( ) (1) ( )(1) (1 1) (1)0( )(1)(1)lim1(1) ( )(1)lim1(1) ( )lim1lim( )(1)( )xxxxf xxg xfgf xffxxg xfxxg xxg xgf x证明：=又在x=1可导福师 1203 考试批次高等数学（一） 复习题及参考答案二一、单项选择题（每题2 分，共 20 分）1.函数 f(x)=21sin2xx是（）A. 奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数参考答案： C 2.设 f(x)=2x,则 f(x)=（）A.2x ln22 B.2xln4 C.2x2 D.2x 4 参考答案： A 3.函数 f(x)=33x-x 的极大值点为（）A. x=-3 B.x=-1 C.x=1 D.x=3 参考答案： B 4.下列广义积分收敛的是（）A.1dxxB.1dxxC.11dxxD.121dxx参考答案： D 5.正弦曲线的一段y=sin xx0()与 x轴所围平面图形的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.4 参考答案： B 6. 曲线3sin1xyex在点（ 0，2）处的法线方程为 ( ) A.122yx B.122yx C.132yx D.132yx参考答案： A 7. 211limlnxxx( ) A.2 B.3 C.4 D.5参考答案： A 8.21yx在 1,1上的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 参考答案： A 9曲线 y=2) 1(4xx的渐近线的条数为（）A1 B2 C3 D 4 参考答案： B 10设 sin x 是 f(x)的一个原函数，则xxfd)(（）Asin x+C Bcos x+C C-cos x+C D-sin x+C 参考答案： A 二、解答题（每题8 分，共 56 分）11. 21lim()01xxaxbx若，求常数,a b的值。

参考答案：221lim(+ )1(1+ )+()1+lim11+(1+ )+()lim111+(1+ )+()1+0,-1,lim,11-11+()lim011xxxxxxax bxa xab xbxba xabxxba xabxaaxababxxab解：若即时不符合题意 . 故于是原极限即=0；求得 b=-a=112求极限.)x2x(limx3x参考答案：333322226222lim()lim()lim(1)22222lim(1)(1)22xxxxxxxxxxxxxxxe解：13求极限.sinsintanlim30 xxxx参考答案：33200022200sinsintansin1coscoslimlimlimsinsincos sin11cos12limlimsin2xxxxxxxxxxxxxxxxxxx14设xxylncos2，求 y. 22222222222coscoscosln2cos sinlnsin 2 lncossin22 cos sincossin2 ln2cos2 lnsin2sin2cos2cos2 ln2 sin2cos2cos2 lnxxyxxxxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx15求不定积分222xdxax参考答案：2222222222222222sin (),cos ,cos2sincossincos1 cos21(sin2 )(sin cos )2222(arcsin)2xataxat dxatdttxatdxatdtatdtataxtaaadtttCtttCaxx axCaa令则16. 计算不定积分.dxe1x2参考答案：212121121,21xttttttxxxtdxtdtedxe tdttdetee dtteeCxeeC2t解：令，则 x=且2所以17. 设 y=.y,x11)5(求参考答案：123(1)( )(51)6(5)511 1( 1) ( 2) 1,( 1)! 1( 1) 5! 1120 1nnnxyxyxynxyxx解： y=三、应用题（每题8 分，共 16 分）18欲做一个底面为长方形的带盖长方体盒子，其底边长成12 的关系且体积为 72cm3，问其长、宽、高各为多少时， 才能使此长方体盒子的表面积最小？参考答案：解：设长方体底边的宽为x,则长为 2x,设高为 h, 由其体积为 72cm3得2272x h则2722hx,那么长方体盒子的表面积为22222222333372722 222 222236721082162 22 24216803432843282403,xxSxxhxhxxxxxxxxxxxxSxxxSxSxxS解得故是 的极小值点也是最小值点. 所以其长、宽、高各为6 厘米、3 厘米、4 厘米时，此长方体盒子的表面积最小。

19某厂每批生产 A 商品 x 台的费用为 C（x）=5x+200（万元） ，得到的收入为R（x）=10 x-0.01x2（万元） ，问每批生产多少台，才能使利润最大？参考答案：22( )( )( )100.0152000.015200L xR xC xxxxxx( )0.0250L xx解得=250 x，( )0.020Lx=250( )( )xL xL x故是的极大值点，且唯一，故是的最大值点，即每批生产250 台，才能使利润最大四、证明题（ 8 分）20设 f(x)在0,1上连续，且 f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点（0，1） ，使 f()=1-. 参考答案：证明：设( )( )1g xf xx，可知( )g x在0,1连续，且(0)10,(1)10gg由零点定理可知，(0,1)使得( )0g即 f()=1-. 福师 1203 考试批次高等数学（一） 复习题及参考答案三一、单项选择题（每题2 分，共 20 分）1函数111arcsin22xxy的定义域是（）A-2，2 B-2 ，-11，2C2,2 D （-， -1）（1，+）参考答案： B 2在同一坐标系下，方程2xy与2logxy 代表的图形（）A关于 x 轴对称B关于y 轴对称C是同一条曲线D关于直线y=x 对称参考答案： C 3函数2ln(1)yxx的极值（）A是 -1-ln2 B是 0 C是 1-ln2 D不存在参考答案： D 4.设 y=cos1x，则( ) A. 当 x 0 时， y 为无穷小量B.当 x0 时 y 为无穷大量C.在区间（ 0,1）内 y 为无界变量D.在区间（ 0,1）内 y 为有界变量参考答案： D 5.(lnsin )dxx( ) A.ln x+sinx B.xxcos1C.lnx+sinx+C D.Cxxcos1参考答案： C 6.设 f (x)是定义在对称区间（ -l,l ）的函数， g(x)=12f (x)+f (-x) ，则（）A. g(x)是偶函数B.g(x)是奇函数C.g(x)是非奇非偶函数D.g(x)是有界函数参考答案： A 7.01limsinxxx（）A.0 B.1 C.D.不存在也不是参考答案： A 8.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是( ) A.2x-1 (x0) B.xxsin(x0) C.2) 1(1x(x1) D.2-x-1(x1) 参考答案： A 9. 曲线3yx 的拐点坐标是 ( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3) 参考答案： A 10. 已知(ln)yfx，则y( ) A.(ln)fxx B.(ln)fx C.(ln)fx D.(ln)fxx参考答案： A 二、解答题（每题8 分，共 56 分）11. 求极限x0ln cotlim.lnxx参考答案：2x0 x0 x0 x0 x01cscln cotcotlimlimlim ()1lnsincos1lim ()lim ()1coscosxxxxxxxxxxxx解：12. 设函数1(cot )xyx，求y. 参考答案：1221(cot)1l。