高中数学必修一《绝对值函数与切比雪夫逼近》微专题讲义.doc

函数加绝对值与切比雪夫逼近绝对值的概念是初一学习的，应该是很简单的，但是，高中函数命题中有一种常见的手法便是给函数加绝对值.从函数值角度讲，加绝对值使得函数值域非负，从图象角度讲，加绝对值使得图象保留轴上方不变，将轴下方沿着轴翻折上去.从几何角度讲，加绝对值便是距离关系的刻画，或者叫做最佳逼近.下面我们将从四个角度逐步展示其命题手法.一．基本命题原理1：加绝对值后考察图象类；2：加绝对值后考察函数性质类；3：去绝对值处理类；4：切比雪夫最佳逼近.二．常见命题手法（公众号：凌晨讲数学）手法1.加绝对值后考察图象类.这类问题最经典的便是对数函数.例1.已知函数若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．解析：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，由，得：，即，而，，则，于是得，显然时，，当时，，所以的取值范围是. 故选：C注：此题中是经典的结论.下面再看一道函数加绝对值考察零点的问题，这类问题常用来作为压轴题考察学生的分类讨论能力，难度较大，读者需细心体会.例2（2020天津卷）已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围为（ ）A． B．C． D．解析：注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为;当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D. 手法2.加绝对值后考察函数性质类（公众号：凌晨讲数学）近两年全国卷在三角函数的考察方面呈现两个明显的特点，第一，多选项，第二，构造性，通过一些常见的构造方式，考察分类讨论，数形结合能力，比如2019年一卷的11题，将常见的正弦函数套上绝对值来考察函数的性质，这样的构造方式会由于绝对值的参与使得很多考生望而生怯. 例3．（2019全国卷一）关于函数有下述四个结论：①是偶函数 ②的最大值为2③在有4个零点 ④在区间单调递减其中所有正确结论的编号是（ ）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③分析：去绝对值是关键步骤，这样就可以将其转化为熟悉的三角函数形态，这个时候就需要分析奇偶性与周期性从而将分析问题的区间尽可能的缩小到小范围内，这个时候，实际也完成了去绝对值的过程，因此，处理此类带绝对值的三角函数问题，分析奇偶性与周期性是两个必备的过程.解：的定义域为，因为，故为偶函数，结论①正确，再分析周期性，周期为.这样就可以去掉绝对值化成分段函数，当，当，故当时，故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确.答案A因此，此类问题的解题顺序可以归纳为：第一，分析奇偶性，周期性，第二，去绝对值，写成分段函数，第三，画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值. 我们可以再通过下面一些练习进一步提升此类题目的解题能力.手法4.切比雪夫最佳逼近设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差. 若存在使得，则称为直线的偏差点，记集合，若存在使得则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线.关于切比雪夫意义下的最佳逼近直线的存在性及计算方法，有如下的三条结论：结1. 若在上连续，则的最佳逼近直线存在且唯一.结论2. 直线为连续函数在的最佳逼近直线的充要条件为至少有三个偏差点，且他们轮流为正负偏差点.结论3. 若在上二阶导数不变号，则的最佳逼近直线为 其中是方程.例7.设，对，总存在，使得成立，求的取值范围.解析：由于函数在二阶导数不变号.由结论3可知：的最佳逼近曲线为其中，由于，故最佳逼近曲线的解析式为：则此题只需使得在的最小值即可，即.小结：对于型函数求最值，若导数不变号，可用结论3求出最佳逼近曲线.例4.已知函数在区间[1，4]上的最大值为，当取到最小值时则______.解析：本题我们用结论2来完成.在区间[1，4]上的最大值，即为函数与在区间上的函数值差的绝对值的最大值.在区间上的两个端点为，过的直线方程为.如图，的斜率为的切线方程是，则，，，（舍去），切线方程为，因此使得取得最小值的直线方程为，即，，所以．注：此题亦可用结论3来做，此处用结论2的目的便是熟悉切比雪夫逼近的几何背景.练习题1．关于函数的下述四个结论中，正确的是（ ）A．是奇函数 B．的最大值为C．在有个零点 D．在区间单调递增【答案】D2．已知函数，下列结论正确的是（ ）A．函数图像关于对称B．函数在上单调递增C．若，则D．函数的最小值为【答案】A手法3.去绝对值讨论型.（公众号：凌晨讲数学）这类问题重点在于取绝对值，等价转化去掉绝对值转化为一个正常形式的函数去讨论.但是，去绝对值过程中的分类讨论难度较大，特别是2016年全国三卷的压轴题，繁杂的讨论让学生无能为力.例4.（2019年浙江高考）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.解析：存在，使得，即有，化为，可得，即，由，可得.则实数的最大值是.。