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Radon变换 崔小强 目录目录 1、、Radon变换定义变换定义 2、、Radon变换基本性质变换基本性质 3、、Radon反变换反变换 1、、Radon变换定义变换定义 图像变换：图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性 质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空 间以得到所需的效果 正变换：正变换： 图像空间到其他空间 反变换：反变换： 其他空间到图像空间 1、、Radon变换定义变换定义 对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分 1、、Radon变换定义变换定义 ,( , ) f pf x y dl R      上述线积分可写为： 如果借助Delta函数，上述线积分还可写为： ( , )( , ) (cossin ) f pf x ypxydxdy R       1、、Radon变换定义变换定义 由于直线l的方程p=xcosθ+ysinθ给出，所以 借助Delta函数的性质，可知上式就是l的线积 分。

注意：注意：Rf（p，θ）并不是定义在极坐标系统中 的，而是定义在一个半圆柱的表面 1、、Radon变换定义变换定义 根据f(x,y)的定义，如果已知-∞＜p＜∞的Rf (p, θ)值，那么只需知道0≤ θ≤∏之间的Rf (p, θ)值就能完全确定Rf(p, θ) 1、、Radon变换定义变换定义 对f(x,y)的2-D傅里叶变换与对f(x,y)先进行Radon 变换后再进行1-D傅里叶变换得到的结果相等 证明：证明： 利用Delta函数，可将2-D傅里叶变换写为： 1、、Radon变换定义变换定义 改变积分次序，并令s=qp，q＞0，得到： 在傅里叶空间，令u=qcosӨ，v=qsinӨ利用 Delta函数的性质 1、、Radon变换定义变换定义 可将q从Delta函数中提出来得到： 投影层定理 对 f (x, y)沿固定角度q = Q 的投影的 1-D傅里叶变换就是对 f (x, y)的2-D傅里叶 变换中的一层 1、、Radon变换定义变换定义 2、、Radon变换基本性质变换基本性质 (1)线性 (2)相似性 如果 ，则： 2、、Radon变换基本性质变换基本性质 (3) 对称性 考虑如下等式(其中t=(cosӨ,sinӨ)为与l垂直方 向上的单位矢量。

2、、Radon变换基本性质变换基本性质 常熟因子a可以从Delta函数中提出来，得到： 如果a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶 函数： 2、、Radon变换基本性质变换基本性质 (4)平移性 给定 ，则对任意的 常数a和b，f(x-a,y-b)的Radon变换可如下计 算： 2、、Radon变换基本性质变换基本性质 (5)微分 这里仅考虑 f x   ，其他结果可用相同方法得到 cos 0 cos [(), ]( , ) lim e e e ff xyf x y x       现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到： 0 [, ][ , ] []cos lim ff e pe tp t f xe RR       2、、Radon变换基本性质变换基本性质 根据偏微分的定义得到： [ , ] []cos f p t f xp R      (6)卷积 这里用 表示1-D卷积，而用  表示2-D 卷积以示区别对Radon变换的卷积定理可 如下表示：如果 ( , )( , )( , )f x yg x yh x y ，那么对 2、、Radon变换基本性质变换基本性质 f(x,y)的Radon变换等于g(x,y)和h(x,y)在Radon 空间变换的1-D卷积： ( , )()( , )(, ) fghgh p tghq tp q t dq RRRRR     3、、Radon反变换反变换 Radon反变换给出从投影重建的解。

对Radon 反变换的推导可借助傅里叶变换进行 ,, )-f x yF u v因为可用（的2 D傅里叶反变换表示，写成极坐标 形式为： 0 ( , )[()exp( 2)]f x ydqF qtjqp dp       3、、Radon反变换反变换 q() 1-F qtD上式中方括号内是的傅里叶反变换利用傅里叶变 换的卷积定理可得： 111 {q F(qt)}{q}{F(qt)} FFF   adon( , )x y f 上式等号右边的第二项等于R变换 R 3、、Radon反变换反变换 1 0 ( , )[{ }( , )] f f x yd t FR      q1-D将的傅里叶反变换表示为： 1111sgn {q }={ sgn }{ 2}{} 2 q jq j FFFF     2利用微分性质，可将上式第 个等号右边的第一个反变换表示为： 3、、Radon反变换反变换 1 { 2 }pj F     ， （ ） 利用柯西主值 ，可将上式第2个等号右边的第2个反变换表示为： 1 2 sgn11 {}=( ) 2p 2 q j F     1 2 11 {q }=p( ) p 2 F    ， 于是（ ） 3、、Radon反变换反变换 22f 0 111 ( , )[( , )p( )] p 22 R f x ydp t       ， （ ） 经整理得到Radon反变换： 。