2025年高考数学一轮复习：数列解答题（六大题型）（解析版）.pdf

特训1 3数 列 解 答 题（六大题型）方法归纳1.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用%=1,d0证明不等式成立.另外本题在探求 厮 与 金 的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.2.数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.3.形如*1=皿+（分0 1，件 0）的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列.（2）递推公式a“+i=aa+夕的推广式斯+产如+发兴存/#）,#0,1）,两边同时除以y*】后 得 到*7=1不+转化为勿+1=轨+3#0,1）的形式，通过构造公比是左的等比数歹j 儿一常 求解.题型归纳目录：题型0 1 ：定义法求数列通项公式、前 n 项和 题型0 2 ：等差、等比数列的综合应用 题型0 3 ：由递推关系求递推公式 题型0 4 ：数列的综合应用 题型0 5 ：利用数列证明不等式 题型0 6 ：求参数范围 题型0 1 ：定义法求数列通项公式、前 n项和1.己知数列”“的前项和为S,，满足S“=2%-求数列%的通项公式a 及S“.若数列也 满足2=应 3 1|,求数列出 的前10项的和工。

答案】%=2T,S“=2-1；（2）1922.【分析】（1）由=b 求出力,由q=S -求得数列 4 的递推关系得其为等比数列并得出公比,从而易得通项公式、前项和；(2)根据绝对值的定义按正负分类讨论去绝对值符号，然后分组求和.【解析】（1）由 S.=2a“-1 得：H=2 q-1,即 q=l,由 S,=2a“-1 得：Sn+1=2%+-1,两式相减得：an+l=2an+l-2an,即 a+i =2册,所以数列 4 是 以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以%=2 则 s=2 -l；1-2 由 知：2-3 2|,则f32京-2（1M2T【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解;结 合(1)的结论得出%=(3 -l)-2 7(e N*),然后利用错位相减法即可求解.【解析】(1)因为之詈-*=也 上 萨 二-*=3,2“+i 2 M 2+1 2 4所以数列|果 是以;为首项，以|为公差的等差数列；（2）由（1）知:数列住:的通项公式为：|=|+（-l）x|=i（3 -l）,则 a“=（3-l）.2 7（eN*）,S=2x2-1+5x2+8x21+-+（3H-4）x23+（3/?-l）x2,i-2（l）,2Sn=2 X 20+5 X 21+8 X 22+-+（3/?-4）X2B-2+（3/?-1）X2 1（2）,-得：S,=l+3x（2+2+2 -2）_（3 _ 1）X2 T1 _2 T=l+3 x-一（3 九-1）X2 T=-2+（4-3 办 2修，则 S“=2+（3 42T.1 1 13.已知公差不为0 的等差数列 q 的首项为=3,且一，一，一成等比数歹!.（1）求数列%的通项公式；（2）若 =100-%,求数列他J 的前项和加【答案】%=2+1-n2+98n,1 n 50【分析】(1)利用等比数列的性质和等差数列的通项公式即可求解；(2)根据数列 2 的通项公式么=9 9-2 可以得出数列 2 的前49项为正值，进而求解即可.111“1 1 1.【解析】(1)因为一，一，一成等比数列，所 以 二=-,即%二小.Q a4 ai3 a4 ax al3设 4 的公差为d,因为6=3,所以(3+3d)2=3(3+12),即筋一 2d=0.因为d w O,所以d=2,所以通项公式为=2 +1.(2)由(1)知a=1。

0-4 =99-2.设数歹5 1 的前项和为S,贝”一厂)=_ni+98.当 W 49 时，Tn=Sn=-n2+98 ；=1 zt 50 时，T“=Sn+2S49=n 98 +4802.行卜 T _ -H2+98Z Z,1M 50,4.已知数列 4 满足q =1,+i=2a+l.证明：数列 q,+1 是等比数列；几 设 bn=,求数列也 的前项和Sn.【答案】（1）证明见解析 S=2一分析】（1）根据等比数列的定义即可求证,（1）由等比数列求解1=2 ,进而根据错位相减法即可求和.【解析】由%=2”“+1 得：an+1+l=2（an+l）由%=1 知：%+1=2 廿；=2,.数列%+1 是以2 为首项，2 为公比的等比数列（2）方法一,n n由（1）得：+1=2 ：.bn=十1乙 c 1 2 3 n 忘-s=iV+7+F 2S=1+L+券-得:S.2n+2一 詈方法二,n n由（1）得：4+1 =2,：.bn4十1乙.0 123 n.Y-+12n 1nI5=H-7+,H-1-r22 2 2 21nn-得：1 1122+22+,+2 2+i-1 2+11-21nn+22”2+i2+i.s-小5.已知等差数列%的前w项和为S“，4+出+3%=25,且。

3+2,a4,%-2 成等比数歹|.（1）求数列%的通项公式;设 么=?曲 求 数 列 也 的前 项和【答案】%=2-(2)7；=3+(n-l)-3+1(neN*)【分析】（1）设出公差，表达出前5 项，通过等差和等比关系求出的和公差d，即可得到数列 4 的通项公式；（2）表达出数列也 的通项公式，得到数列也 的前n项和7“的表达式，利用错位相减法即可得出数列 b的前n项和.【解析】（1）由题意，n e N*在等差数列%中，设公差为d,由+%+3%=2 5,得 5%+10d=25,贝 lj 4+2d=%=5,又 43+2,5 2 成等比数列，：.7,5+d,3+24 成等比数列，得（5+y =7（3+2d）,BP（-2）2=0,得 d=2,dn=%+（3）d=2n 1,e N,数列 g 的通项公式为：q =2 -1 e N*）.（2）由题 意 及（1）得，n e N*?在数列%中，an=2n-,在数列也,中，b=an-/y,二 优=（277-1）.护=（2-1）.3,A 7；,=1X31+3 X 32+5 X 33+（2H-1）X3 3方=1x3?+3x33+（2/z-3）x3+（2 n-l）x3,!+1,两式相减得-2（,=3+2&+33+3）-1）3向=3+2.9（；-；）_（2 _1）.3.=-6+（2-2 ）-3+1.题型02：等差、等比数列的综合应用6.在数列。

中，%=2,%=8,且对任意的 e N*,都有%+2=41（1）证明：,+2%是等比数列，并求出 4 的通项公式；若么=rj*,w=2左 一 1,左 eNanlog2 ,n=2k,k e N*,求数列低 的前项和却【答案】（1）证明见解析，an=n-T.（1/11 7-1-,YI 2k-1,左 N3x2 4 1213X2“Tn2 n 2,-1 ,n 2k,左 w N4 2 3【分析】（1）由 4+2=4a”+4a”，可得%+？一 2%+1=2（%+2%）,即用+1-2a=2+1,变形为招一箓=1，即可得到 黑 是等差数列，可求得上1*_ Y=2k _ 1 k e（2）2=20 一 ，利用分组求和以及等差等比前”项和公式,n=2k,左 e N*式，再求为正奇数时的表达式，即可得到.-2 4 是等比数列，可求得=n,从而求得见=-2；先求出”为正偶数时1 的表达【解析】（1）证明：因为4=2,%=8,所以%-2%=8-2x2=4.因为 an+2=4%+i-4%,所以 an+2-2an+1=2(a,i+I-2%),又=4HxO（eN+）,所以4+2 21=2,所以 怎+2 4 是以4 为首项，2 为公比的等比数歹！J.所以“2凡=4 x 2 1 =2，所 以 蔚-爱=L又 卜 1,所以是 以 1 为首项，1 为公差的等差数列,T所以-=l+(n-l)x l=n,所以a“=w-2”.(2)由(1)知)=,=2左 一 1,左 N*an1-,n =2 k-l,k Nlog2 ,n=2k,k e Nan n,n 2匕 左 N*则 2 的奇数项为以4=g 为首项，1 为公比的等比数列；偶数项是以,-2 为公差的等差数列.所以当”为偶数，且“2 2 时,=(4+2+-+2 _ 1)+(4+2+-+2)=1 1 1 I-F H-2 8 2一+(-2-4-n)1-21-43X2 T1X22+小。

21（几 十 2）41n2 n 2T-2 +3；当为奇数，且“2 3 时，为偶数,TH=_L3X2-2 4(“-I?_1 2 1-1-1.-2 321n211-1-.3x2 4 12 =1 时，Tx=-1 I2 11-：-1-3x2 4 12g,满足.所以，当”为奇数，且21时,有 T=一1 n2 111-.3x2 4 12综上，Tn=1 n2 11-1 ,Y I3x2 4 12=2 I,%N*1 n2 n 2 3x2-T-2+3,n=2k,k e N*【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.7.已知数列%的前w项和为5“=3/+5/，数列也 满足4=8,=64么(1)证明 为 是等差数列；是否存在常数八从使得对一切正整数”都有4=log”2+方成立.若存在，求出b 的值；若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在a=g,b=U.【分析】(1)由数列%的前 项和为S=32+5，可求得a,=6 +2,w e N*,再由等比数列的定义证明即可.(2)根据题意可求得勿=29-6,log“bn=(9-6)log”2,代入an=logfla+b 中得6=-6 log 26n+2=-6nloga2+91oga2+bf只需满足以 入即可，从而求解。

力的值即可.2=91ogfl2+Z?【解析】(1)解：证明：因为数列 叫的前项和为S,=3/+5，所以当=1 时，=3+5=8,当 22 时，S_1=3(n-l)2+5(n-l),所以=Sn-Sn_x=3n2+5n-3(n-1)2-5(n-1)=6n+2,满足i =8,所以数列 叫的通项公式为4,=6 +2,eN所以 a“+i _陞=6(+1)+2_6 _2=6,wN*,所以 4 是等差数列；(2)解：因为么=64b“+i，b 1所 以 谭=而，勿64所以数列 2 是以8为首项，3为公比的等比数列，所以a=8 哈 尸=2”所以l o g.b=l o g.29-6 =（9-6 ）l o g”2，要使对一切正整数 都有a =l o g“2+6 成立.即 6 +2 =(9 -6 )l o g2+b,即 6 +2 =-6 l o gf l 2 +9 l o ga 2 +Z?,所以6 =-6 啕22 =9 1 o g,2 +b1d 解得 2b=故 存 在 常 数 b,当g,6 =1 1 时，对一切正整数”都有a=l o g”2+b 成立.8.已知数列%满足4+2 （夕为实数，且1），N*,q =1,%=2,且。

2+5 成等差数歹1.（I）求夕的值和 见 的通项公式;（II）设 或=地%,“w N*),且4+4+4=1 5,又+济、+4、/+4 成等比数列.(I)求数列%、2 的通项公式；(II)求数歹%血,的前n 项和a以 1【答案】(1)a“=3T(nN*),bn=2n+l(e N*)(2)+n2+2 n-2 2【解析】解：(I)：q=l,用=2S“+l(eN*),/.an=2 s l+1(e N*,n 1),4+1 =2(S-S a),-4=2 “，an+=3an(n G N n 1)而a2=2%+1=3=3%,an+1=3%(G N*)；数列%是 以 1 为首项，3 为公比的等比数列，:.a=。