专题3.6对数与对数函数(精讲)(解析版).pdf

专题 3.6 对数与对数函数【考纲要求】1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.2理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.3.了解对数函数的变化特征.4培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养. 【知识清单】1对数及其运算1.对数的概念（1）如果 axN(a0，且 a1) ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数 . （2）对数的性质：负数和零没对数；10alog；1alog a；（3）对数恒等式alogaNN2.对数的运算法则如果 a0 且 a1 ，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnnmlogaM(m，nR，且 m 0).(3)对数的重要公式换底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于1)；logab1logba，推广 logab logbc logcdlogad. logaabb(a0，且 a1)2对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且 a 1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0， ).(2)对数函数的图象与性质a10a1 时， y0；当 0 x1 时， y1 时， y0；当 0 x0 在 (0， ) 上是增函数在(0， ) 上是减函数3.反函数对数函数ylogax(a0，且 a 1) 和指数函数yax(a0，且 a 1) 互为反函数，它们的图象关于直线yx 对称【考点梳理】考点一：对数的化简、求值【典例 1】 （2020 全国高考真题（文） ）设3log 42a，则4a（）A116B19C18D16【答案】 B【解析】由3log 42a可得3log 42a，所以49a，所以有149a，故选： B.【典例 2】 （2020 全国高考真题（理） ）已知 5584，13485设 a=log53，b=log85， c=log138，则（）AabcB bacCbcaDca 0， ? 0， log4?= log8?= log16(2? + ?) ，则 log2 ?-log4?= （）A. -2 B. 2 C. -12D. 12【答案】 C【解析】由题意，设 log4?= log8?= log16(2?+ ? ) = ? ，则? = 4?，?= 8?，2?+ ?= 16?，据此有： 2 4?+ 8?= 16?，则： 2 (14)?+ (12)?= 1，即 2 (12)?2+ (12)?- 1 = 0，据此可得： (12)?=12或(12)?= -1 ，其中：?=4?8?= (12)? 0，据此可得：?=12，则log2 ?- log4?= log2 ?-log2 ?= log2?= log212= -12.本题选择C 选项 .2.()52016?1.2baabablog blog aab浙江卷 已知 若，则a，b.【答案】 4， 2.【解析】设log,1batt则，因为21522ttabt，因此22222,4.babbabbbbbba【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212log2(3) (4)log2(3)log2(4)的错误(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用考点二：对数函数的概念与图象【典例 3】 （2019 浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log(02axyyxaa且0)a的图象可能是（）ABCD【答案】 D【解析】当01a时，函数xya过定点(0,1)且单调递减，则函数1xya过定点(0,1)且单调递增，函数1log2ayx过定点1(,0)2且单调递减， D 选项符合； 当1a时，函数xya过定点(0,1)且单调递增，则函数1xya过定点(0,1)且单调递减， 函数1log2ayx过定点1(,02）且单调递增， 各选项均不符合.综上，选D.【典例 4】 （2020 北京高三二模）已知函数f（x）=logax+b 的图象如图所示，那么函数g（x）=ax+b 的图象可能为 ( )ABCD【答案】 D【解析】结合已知函数的图象可知，(1)1fb,1a，则( )g x递增，且(0)10gb，故D符合题意 .故选： D.【典例 5】已知图中曲线C1，C2， C3，C4分别是函数yloga1x，y loga2x，y loga3x， yloga4x 的图象，则 a1，a2，a3，a4的大小关系是()Aa4a3a2a1Ba3a4a1a2Ca2a1a3a4Da3a4a2a1【答案】 B【解析】 思路分析 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa1，结合图象判断解析 在图中作一条直线y1.由y1，yloga3x，得 loga3x1，所以 xa3.所以直线y1 与曲线 C3：yloga3x 的交点坐标为(a3,1)同理可得直线y1 与曲线 C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4,1)， (a1,1)，(a2,1)由图象可知a3a4a11 还是 0a0，a0 且 a 1) 规律： “ 同正异负 ” (1)当 0 x1,0a1，a1 时， logax0，即当真数x 和底数 a 同大于 (或小于 )1 时，对数logax0，即对数值为正数，简称为“ 同正 ” ；(2)当 0 x1 或 x1,0a1 时， logax0，即当真数x 和底数 a 中一个大于1，而另一个小于1 时，也就是说真数x 和底数 a 的取值范围 “ 相异 ” 时，对数logax0，即对数值为负数，简称为“ 异负 ” 因此对数的符号简称为 “ 同正异负 ” 5指数型、 对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题【变式探究】1 （ 2019四川省眉山第一中学高三月考（文）函数 ?= ?2+ ?与?= log|?|?(? 0, |? | |? | )在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【答案】 D【解析】对于 A、B 两图， |?|1 ，而 ax2+bx=0 的两根为0 和-?，且两根之和为 -?，由图知 0-?1 得-1?0，矛盾，对于 C、D 两图， 0|?|1，在 C 图中两根之和-?-1，即? 1 矛盾， C 错， D 正确故选： D2 （ 2020上海高一课时练习）函数yxa与函数logayx在同一坐标系的图像只可能是（）ABCD【答案】 C【解析】当1a时，对数函数logayx为增函数，当1x时函数yxa的值为负 .无满足条件的图像.当01a时，对数函数logayx为减函数，当1x时函数yxa的值为正 .C 满足 .故选： C3 （ 2019江西高三高考模拟（文）已知函数lg ,0( )1lg,0 xxf xxx，若()()f mfm，则实数m的取值范围是（）A( 1,0)(1,)B(, 1)(1,)C( 1,0)(0,1)D(, 1)(0,1)【答案】 A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式fmfm即fmfm，即0f m，观察函数图像可得实数m的取值范围是1,01,.故选： A.【总结提升】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间 )、值域 (最值 )、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解考点三：对数函数的性质及应用【典例 6】 （2020 天津高考真题） 设0.80.70.713,log0.83abc，则, ,a b c的大小关系为 （）AabcBbacCbcaDcab【答案】 D【解析】因为0.731a，0.80.80.71333ba，0.70.7log0.8log0.71c，所以1cab.故选： D.【典例 7】 （2020 全国高考真题（理） ）若242log42logabab，则（）A2abB2abC2abD2ab【答案】 B【解析】设2( )2logxf xx，则( )f x为增函数，因为22422log42log2logabbabb所以( )(2 )f afb2222log(2log 2 )abab22222log(2log 2 )bbbb21log102，所以( )(2 )f afb，所以2ab.2( )()f af b22222log(2log)abab222222log(2log)bbbb22222logbbb，当1b时，2( )()20f af b，此时2( )()f af b，有2ab当2b时，2( )()10f af b，此时2( )()f af b，有2ab，所以 C、D 错误 .故选： B.【典例 8】 （2019 北京高考模拟（理） ）若函数22 ,1,( )log,1,xxf xxx则函数( )f x 的值域是（）A(,2)B(,2C0,)D(,0)(0,2)【答案】 A【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为,2，故选 A.【典例 9】 满足( )()0f xfx， 且在0,单调递减， 若1479a，1597b，21log9c， 则( )f a，( )f b，( )f c的大小关系为（）A( )( )( )f bf af cB( )( )( )f cf bf aC( )( )( )f cf af bD( )( )( )f bf cf a【答案】 C【解析】( )()0( )()f xfxf xfx( )f x 为偶函数 .21log09c22211( )(log)(log)(log9)99f cfff，22log 9log 42，11114459799207977ab2log 9ab.fx在0,单调递减，2log 9ffaf b，即( )( )( )f cf af b.故选：C.【典例 10】 （2020 全国高考真题（理） ）设函数( )ln |21|ln | 21|f xxx，则 f(x)（）A是偶函数，且在1(,)2单调递增B是奇函数，且在1 1(,)2 2单调递减C是偶函数，且在1(,)2单调递增D是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】 D【解析】由ln 21ln 21fxxx得fx定义域为12x x，关于坐标原点对称，又ln 12ln21ln 21ln 21fxxxxxfx，fx为定义域上的奇函数，可排除AC；当1 1,2 2x时，ln 21ln 1 2fxxx，ln 21yx在1 1,2 2上单调递增，ln 12yx在1 1,2 2上单调递减，fx在1 1,2 2上单调递增，排除B；当1,2x时，212ln21ln 12lnln 12121xfxxxxx，2121x在1,2上单调递减，lnf在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：fx在1,2上单调递减， D 正确 .故选： D.【典例 11】 （2020 上海高三专题练习）函数20.5log(43 )yxx的定义域为【答案】【解析】由题意可知20431xx，解得x【典例 12】 （2020 河北新乐市第一中学高二月考）函数213( )log23fxxx的单调递增区间是_【答案】1,3)或(1 )3，【解析】由题意，令223uxx，由0u，解得13x，即函数fx的定义域为( 1,3)又根据二次函数的图象与性质可知，函数223uxx在区间(1,1上单调递增，在区间1,3)上单调递减，又由函数12logfxu为单调递减函数，根据复合函数同增异减可得，函数fx的单调递增区间为1,3).故答案为：1,3)或(1 )3，【易错提醒】解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误.【变式探究】1.(2017 天津，理 6)已知奇函数( )f x 在 R 上是增函数，( )( )g xxf x .若2(log 5.1)ag，0.8(2)bg，(。