《3年2年模拟》专有电子资源第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件学习要求:1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题间的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以① 判断真假 的陈述句叫做命题,其中② 判断为真 的语句叫做真命题,③ 判断为假 的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题的真假关系:(i)两个命题互为逆否命题,它们有⑦ 相同 的真假性; (ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性⑧ 没有关系 . ▶提醒 在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性.3.充分条件与必要条件(1)若p⇒q,则p是q的⑨ 充分 条件,q是p的⑩ 必要 条件. (2)若p⇒q,且q⇒/ p,则p是q的 充分不必要 条件. (3)若p⇒/ q,且q⇒p,则p是q的 必要不充分 条件. (4)若p⇔q,则p是q的 充要 条件. (5)若p⇒/ q,且q⇒/ p,则p是q的 既不充分也不必要 条件. ▶提醒 不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;(5)若A⫌B,则p是q的必要不充分条件;(6)若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)“x2-3x+2=0”是命题. ( )(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系. ( )(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( )(4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件. ( )(5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则¬q”. ( )(6)一个命题非真即假. ( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√(5)✕ (6)√2.“若x>1,则x>0”的否命题是 ( )A.若x>1,则x≥0 B.若x≤1,则x>0C.若x≤1,则x≤0 D.若x<1,则x<0答案 C 3.当命题“若p,则q”为真时,下列命题中一定为真的是 ( )A.若q,则p B.若¬p,则¬q C.若¬q,则¬p D.若p,则¬q 答案 C 4.(新教材人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)已知a>0,b>0,则“ab>1”是“a+b>2”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A5.(易错题)“ln x<0”是“x<1”的 ( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B 因为ln x<0,所以0b,则ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.4个答案 C 原命题:若c=0,则不成立即为假命题,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题:设a,b,c∈R,若“ac2>bc2,则a>b”.由ac2>bc2知c2>0,∴由不等式的基本性质得a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真命题共有2个.故选C.2.以下命题的说法正确的是 (填序号). ①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.答案 ②④充分条件、必要条件的判断1.(2020四川达州高三第三次诊断性测试)已知条件p:a>b,条件q:a2>b2,则p是q的 ( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 D 当a=1,b=-2时,a2b2时,a2-b2>0,即(a-b)(a+b)>0,所以a>b且a+b>0或a0,x+1x≥a成立”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A ∵∀x>0时,x+1x≥2,∴“∀x>0,x+1x≥a”等价于a≤2,而a=2可以推出a≤2,但a≤2不能推出a=2,∴“a=2”是“∀x>0,x+1x≥a成立”的充分不必要条件,故选A.4.集合A={x|x>1},B={x|x<2},则“x∈A或x∈B”是“x∈(A∩B)”的 条件. 答案 必要不充分名师点评 充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,判断原命题的逆否命题的真假.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.充分、必要条件的应用典例2 (1)设α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若α是β的充分条件,则m的取值范围是 . (2)已知条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 . 答案 (1)-12,0(2)0,12名师点评 1.解题“2关键”:(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.名师点评 2.解题“1注意”:求参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求参数的取值范围时,不等式能否取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.1.(2020陕西山阳城区中学高三月考)已知集合A=x|2xx-2<1,集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0},p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 . 答案 [-2,1]解析 集合A=x|2xx-2<1=x|x+2x-2<0={x|-20),若p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 . 答案 (0,2]解析 ∵|x-1|≤2,∴-1≤x≤3,即p:-1≤x≤3;∵x2-2x+1-a2≥0(a>0),∴x≤1-a或x≥1+a,∴¬q:1-a0,1-a≥-1,1+a≤3,解得0b+2a”是“a>b”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要。
