2014-2015学年高二数学（北师大版必修5）同步训练：2.2《三角形中的几何计算》.doc

§2　三角形中的几何计算课时目标　1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明．1．正弦定理和余弦定理(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)；(2)余弦定理：a2＝____________________或cos A＝______________(其余形式略)2．在△ABC中，有以下常用结论：(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；(2)a>b⇔______⇔____________；(3)A＋B＋C＝π，＝－；(4)sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝____________________________________，sin ＝______________，cos ＝___________________________________.3．三角形常用面积公式(1)S＝____________(ha表示a边上的高)；(2)S＝absin C＝____________＝______________；(3)S＝(可由正弦定理推得)；(4)S＝2R2sin A·sin B·sin C(R是三角形外接圆半径)；(5)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．一、选择题1．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为(　　)A. B. C. D．92．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于(　　)A. B. C. D.3．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　　)A. B．1＋ C. D．2＋4．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形面积是(　　)A．16 B．17 C．18 D．18.535．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为(　　)A. B. C. D．66．在△ABC中，已知cos A＝，sin B＝，则cos C的值为(　　)A. B.C.和 D．－二、填空题7.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB ＝45°，则圆O的面积等于________．8．若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．9．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．三、解答题11．在△ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证：＝.12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．能力提升13．一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与B之间，P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β.求证：＝＋.14．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ的取值．解三角形广泛应用于解各种平面图形，如平行四边形、梯形、扇形及一些简单的不规则图形．处理时，可添加适当的辅助线构造三角形，将问题纳入到某个三角形中，再选择正、余弦定理加以解决．第二章　解三角形§2　三角形中的几何计算答案知识梳理1．(2)b2＋c2－2bccos A　　2.A>B sin A>sin B　(4)sin C　－cos C　cos 　sin 　3.(1)aha　(2)acsin B　bcsin A作业设计1．B　[设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，∴x2＝9，∴x＝3.设cos θ＝，则sin θ＝.∴2R＝＝＝.]2．B　[设BC＝a，则BM＝MC＝.在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB.①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB.②①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝.]3．B　[∵2b＝a＋c，S＝acsin B＝，∴ac＝6.∴b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2accos B－2ac.∴b2＝4b2－6－12，∴b2＝2＋4，b＝1＋.]4．A　[设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cos α＝或a＝4，b＝5，cos α＝，∴S▱ABCD＝ab sin α＝16.]5．A　[由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，即6＝4c2＋c2－4c2·.∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4× ＝.]6．A　[∵cos A＝，0sin B，从而a>b，故A>B，∴cos B＝，∴cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.]7．8π解析　∵2R＝＝＝4，∴R＝2.∴S＝πR2＝8π.8．4解析　较长的对角线长为：＝4.9．20解析　设AB＝8k，AC＝5k，k>0，则S＝AB·AC·sin A＝10k2＝10.∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝82＋52－2×8×5×＝49.∴BC＝7，∴周长为AB＋BC＋CA＝20.10.解析　不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：cos A＝＝＝，∴sin A＝ ＝.由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.∴S内切圆＝πr2＝.11．证明　如图所示，在△ABD中，利用正弦定理，＝.①在△CBD中，利用正弦定理，＝②∵BD是角B的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠ADB＋∠CDB＝180°，∴sin∠ADB＝sin∠CDB，所以①＝②，得＝.即＝成立. 12．解　连接BD，则四边形面积S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sin A＋BC·CD·sin C.∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A.由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A，在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cos C＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C.又cos C＝－cos A，∴cos A＝－.∴A＝120°.∴四边形ABCD的面积S＝16sin A＝8.13．证明　∵S△ABP＝S△APC＋S△BPC，∴PA·PBsin(α＋β)＝PA·PCsin α＋PB·PCsin β两边同除以PA·PB·PC，得＝＋.14．解　(1)△ABD的面积S1＝×1×1×sin θ＝sin θ，由于△BDC是正三角形，则△BDC的面积S2＝BD2.而在△ABD中，由余弦定理可知：BD2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ.于是四边形ABCD的面积S＝sin θ＋(2－2cos θ)，∴S＝＋sin，0<θ<π.(2)由S＝＋sin及0<θ<π，则－<θ－<.当θ－＝，即θ＝时，S取得最大值1＋.高考学习网－中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！。