2022年第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的：把握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法,会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法,幂指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数函数 y f x 表示两个变量 y 与 x 之间的对应关系, 这种对应关系可以用各种不同方式表达；前面我们遇到的函数,例如 y sin x, y ln x 1 x 2等,这种函数表达方式的特点是： 等号左端是因变量的符号, 而右端是含有自变量的式子, 当自变量取定义域内任一值时, 由这式子能确定对应的函数值； 用这种方式表达的函数叫做显函数； 有些函数的表达3方式却不是这样,例如,方程 x y 1 0 表示一个函数,由于当变量 x 在 , 内取值时,变量 y 有确定的值与之对应；例如,当 x 0 时, y 1；当 x 1 时, y 3 2 ,等等；这样的函数称为隐函数；一般地,假如在方程 F x,y 0 中,当 x 取某区间内的任一值时,相应地总有满意这方程的唯独的 y 值存在,那么就说方程 F x,y 0 在该区间内确定了一个隐函数；把 一个隐 函数化 成显函数 ,叫做 隐函数 的显化； 例如从 方程 x y 31 0 解 出y 3 1 x,就把隐函数化成了显函数；隐函数的显化有时是有困难的,甚至是不行能的；但在实际问题中,有时需要运算隐函数的导数,因此,我们期望有一种方法,不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来；法；下面通过详细例子来说明这种方名师归纳总结 例 1：求由方程eyxye 0 所确定的隐函数 y 的导数 dy ；dxx 求导数,留意 y 是 x的函数；方程左边对x 求导得第 1 页,共 4 页解：我们把方程两边分别对deyxyeeydyyxdy,dxdxdx方程右边对求导得00；由于等式两边对x 的导数相等,所以eydyyxdy0,dxdx从而dyxyyxey0；dxe- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在这个结果中,分式中的多练出技巧xy巧思出硕果y 是由方程eye0所确定的隐函数；隐函数求导方法小结：ln（1）方程两端同时对x 求导数,留意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待,例如yx1y；y（2）从求导后的方程中解出y 来；（3）隐函数求导答应其结果中含有y ；但求一点的导数时不但要把x 值代进去,仍要把对应的 y 值代进去；例 2：xyeye,确定了 y 是 x 的函数,求y0；01 e；解：yx y时y1,yeyy0,yxyy,x0e例 3：函数y0所确定,就dyy x 由方程sin〔x2 2 y〕 x e 2 xy____dx解：方程两端求微分得所以dy dxcos〔 x2y2〕〔2xdx2ydy 〕 x e dx 2 y dx2xydy02 cos〔 2 xy2〕 x ey22 xy2 cos〔 x2y2〕例 4：已知x2y2 arctan ey,求dy dx,2 d yxdx2解：两边取对数所以dy dxxy,1 ln〔 2x2y2〕2〔arctany x2 d y 2 xy2〕xy 2 dx〔xy〕2二、取对数求导法名师归纳总结 对于幂指函数yuxvx是没有求导公式的, 我们可以通过方程两端取对数化幂指函数第 2 页,共 4 页为隐函数,从而求出导数y ；例 5：求yxsinxx0的导数；解：这函数既不是幂函数也不是指数函数,通常称为幂指函数；为了求这函数的导数,可以先在两边取对数,得lnysinxlnx；上式两边对 x 求导,留意到y 是 x的函数,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1多练出技巧lnx巧思出硕果,ycosxsinx1yx于是yycosxlnxsinxxsinxcosxlnxsinx；xx由于对数具有化积商为和差的性质,因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算,通过取对数得到化简；例 6：求yx1x2 4的导数；lnx33xlnx4,x3x解：先在两边取对数（假定x4）,得 1 ln y2上式两边对 x 求导,留意到lnx1lnx2y 是 x的函数,得11,x1y1x11x12y24于是yy1113x14；2x1x2x当x1时,y1x2x；3x4x当2x3时,yx1x2；3x4x用同样方法可得与上面相同的结果；注：关于幂指函数求导,除了取对数的方法也可以实行化指数的方法；例如xxexlnx,这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求y e xx x ee的导数时,化指数方法比取对数方法来得简洁,且不简洁出错；三、由参数方程确定的函数的导数名师归纳总结 如由参数方程xt确定了 y 是 x 的函数,假如函数xt具有单调连续反函数第 3 页,共 4 页yttx,且此反函数能与函数yt复合成复合函数,那么由参数方程xt所确yt定的函数可以看成是由函数yt、tx复合而成的函数yx；现在,要计算这个复合函数的导数；为此,再假定函数xt、yt都可导,而且/ t0；于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果是依据复合函数的求导法就与反函数的导数公式,就有dydydtdy1t,dxdtdxdtdxtdt名师归纳总结 即dyt；第 4 页,共 4 页dxtdy上式也可写成dydt dx；dxdt假如xt、yt仍是二阶可导的,由dyt仍可导出 y 对 x 的二阶导数公式：dxtd2yddydtdttt2ttt1, 2 dxdxdxdttdxt即d2ytt3tttdx2例 7：设函数yy x 〔 〕由参数方程xt3ln〔1t〕所确定,就2 d y=__________ ytt2 2 dx解：dy[t[t3t2]tdtdt3 t212 t〔1t〕〔23 〕dxln〔1〕]11t2 d yd [〔1t〕〔23 〕]5t6 t1〔1 tt〕〔56 〕dx2d tln〔1t〕〕1t例 8：设xetsintt,就2 d y_____；yetcosdx2解：由于dyet〔cos tsin 〕 t dte2tdx t e〔cos tsin 〕 t dt所以2 d yde2 t t e2 e2tdt2e3 tt； 2 dxdx〔costsin 〕 t dtcostsin- - - - - - -。