6.2排列与组合.docx

高中数学选择性必修第三册第六章计数原理（人教A版2019）6.2排列与组合【基础梳理】一、排列排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的 顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列二、排列数排列数的定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示排列数公式（1）排列数公式：=n（n-1）（n-2）...（n-m+1）（2）全排列：=n（n-1）（n-2）...321（3）阶乘：=n！规定0！=1（4）排列数的性质：=n，=m+三、组合组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数的定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示组合数公式（1）组合数公式：==还可以写成 = 规定=1（2）组合数的两个性质性质1：= 性质2：=+【课堂探究】例1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法；所以不同的摆放方法共有种，故选：C.例2．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）A．54种 B．60种 C．72种 D．96种【答案】A【分析】甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况故选：A.【课后练习】1．某医院派出了6名医生和3名护士共9人前往某地参加救治工作.现将这人分成两组分配到，两所医院，若要求每个医院都至少安排2名医生及1名护士，并且医生甲由于工作原因只能派往医院，则不同的分配方案种数为（ ）A．30 B．60 C．90 D．150【答案】D【分析】由题意，第一步分配医生：将医生甲派往医院，再往医院安排1名医生，则医院4名，再往医院安排2名医生，则医院3名，再往医院安排3名医生，则医院2名，按照分类相加原理可知分配医生有种方法；第二步分配护士有种方法；第三步将护士分配到医院有种方法，按照分步相乘原理即可得解.【详解】第一步：按题意6名医生有3种分配情况，医院2名，医院4名，医院3名，医院3名，医院4名，医院2名，共有种分配方案；第二步：按题意将3名护士分成一组1名，一组2名，有种分配方案，第三步：两组护士分别分配给两个医院有种分配方案故不同的分配方案种数为，故选：D.2．下列等式不正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据排列和组合公式求解即可.【详解】根据组合公式得，则A错误；根据排列公式得，则B正确；根据排列公式得，则C正确；根据组合公式得即，则D正确；故选:A3．列关于排列数和组合数的叙述（均为正整数，），①；②；③；④其中正确的有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据排列数和组合数的计算公式逐一判断.【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，，故正确；④的意义是指从个不同元素中取出个不同元素的组合数，的意义是指从个不同元素中取出个不同元素，当某元素不妨设为，分两类，当取到，有种情况，当不取到，有种情况，总共情况，和的意义是一样的，故正确.故选：C.4．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ） A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：，共种，所以目标事件的概率.故选：C.5．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意，基本事件的总数为，设事件表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件包含个基本事件，故可求．【详解】解：依题意，基本事件的总数为，设事件表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，则包含个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则包含个基本事件，综上包含个基本事件，所以，故选：．6．表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ）A．286 B．281 C．256 D．176【答案】C【分析】画出图形得到表示的平面区域内的整点的个数，然后得到从中任取3个点的合组合数，去掉三点共线和五点共线的情况后即可得到所求．【详解】由题意可得表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为个．故选C．7．杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设，若的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称具有性质.如的展开式中，二、三、四项的二项式系数为，，，依次成等差数列，所以具有性质.若存在，使具有性质，则的最大值为（ ）A．22 B．23 C．24 D．25【答案】B【分析】根据连续三项二项式系数成等差数列可列出，根据组合数公式进行整理可得：，可知为完全平方数，分析可知.【详解】由题意得：，整理可得：即：为完全平方数又且的最大值为：本题正确选项：8．已知自然数，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案.详解：.故选：D.。