江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期中考试 数学[含答案].doc

2023~2024学年第一学期期中试卷高二数学 注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卷交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置．3．请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）A. 36 B. 45 C. 54 D. 63【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质得到，然后求和即可.【详解】，所以，.故选：C.2. 圆的圆心到直线的距离为（ ）A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D【解析】【分析】由点到直线的距离公式计算.【详解】由题意可得圆心坐标为，圆心到直线的距离为．故选：D．3. 数列中，，，则（ ）A. 77 B. 78 C. 79 D. 80【答案】D【解析】【分析】利用裂项求和法求得正确答案.【详解】依题意，，所以，由，解得.故选：D4. 直线，，若两条直线平行，则实数（ ）A. B. 1 C. 3 D. 或3【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列式求解即可.【详解】因为，，由可得且，解得，故选：C.5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线的方程得到直线恒过定点，根据曲线的方程曲线表示半圆，然后结合图形求的范围即可.【详解】直线恒过定点，曲线的方程可整理为，，所以曲线表示以为圆心，半径为1的半圆，图象如下所示：，为两种临界情况，由题意得，则，令圆心到直线的距离，解得，则，所以当时，直线与曲线有两个不同的交点.故选：A.6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由重心坐标公式可得：重心，根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，再求出斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程.【详解】由重心坐标公式可得：重心，即.设外心，因为，所以，解得，即：.，故欧拉线方程为：，即：，故选：A.7. 已知，，（，），其前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用递推关系构造得是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数列的前n项和公式求答案.【详解】由（，）可得，已知，，所以，即是一个以3为首项，2为公比的等比数列，所以，即，，，，，，，故选B.8. 已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立直角坐标系，取点，探讨满足条件的点的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图， 取点，设，当时，，化简整理得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此，显然点在圆：外，则，当且仅当为线段与圆的交点时取等号，而，所以的最小值为.故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点并求出满足条件的点的轨迹是解题的关键.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线的倾斜角为B. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为C. 直线与直线之间的距离是D. 直线，，，则【答案】ACD【解析】【分析】由直线斜率求出倾斜角判断A；求出过原点的直线方程判断B；求出平行线间距离判断C；由两直线垂直求出参数判断D.【详解】对于A，直线的斜率，则其倾斜角为，A正确；对于B，过点，且在，轴上截距互为相反数的直线还有过原点的，其方程为，B错误；对于C，直线与直线，即间的距离，C正确；对于D，由，得，且，解得，D正确.故选：ACD10. 下列命题中，正确的有（ ）A. 数列中，“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件B. 数列的通项为，若为单调递增数列，则C. 等比数列中，，是方程的两根，则D. 等差数列，的前项和分别为，，若，则【答案】AD【解析】【分析】利用必要不充分条件的意义判断A；利用递增数列列出不等式求解判断B；利用等比中项意义求出判断C；利用等差数列的性质，结合前项和公式计算判断D.【详解】对于A，是公比为2的等比数列，则有（，），反之，当（，），若，数列不是等比数列，因此“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，A正确；对于B，，为单调递增数列，则，，即，而数列单调递减，即，因此，B错误；对于C，令等比数列的公比为，依题意，显然，而，因此，C错误；对于D，等差数列，的前n项和为分别为，，所以，D正确.故选：AD11. 已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（ ）A. 四边形的面积最小值为B. 最短时，弦长为C. 最短时，弦直线方程为D. 直线过定点【答案】ACD【解析】【分析】A选项，根据面积公式得到当时四边形的面积最小，然后求面积；B选项，利用等面积的思路求；C选项，根据，得到为以为直径的圆上的点，然后根据圆的方程求弦所在直线的方程；D选项，设，借助圆的方程得到直线的方程为，然后求定点.【详解】由题意得四边形PAMB的面积，，因为，，所以当长度最小时，四边形的面积最小，最小为点到直线的距离，所以，所以四边形的面积最小值为，故A正确；由圆的性质得，由A选项可得，最短时，四边形的面积最小，，所以，故B错；由题意得，，所以为以为直径的圆上的点，所以直线为两圆公共弦所在的直线，，直线：，即，联立得，所以最短时，，中点坐标为，此时以为直径的圆的方程为，联立得，所以弦所在直线的方程为，故C正确；设，则，即，以为直径的圆的方程为，联立得，所以直线的方程为，将代入得， 令，解得，所以直线过定点，故D正确.故选：ACD.12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据数列各项可知其是以为周期的周期数列，由此可判断A，B；根据斐波那契数列的定义，采用累加法可判断C；由斐波那契数列定义可推导得到，累加即可判断D.【详解】斐波那契数列：，则，即数列是以6为周期的周期数列，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，，，，，故C正确；对于D，因为，所以，所以，，，，所以，又，所以，故D正确，故选：BCD.【点睛】解题关键是能够根据斐波那契数列的定义，确定其数列前后项所满足的关系式，进而验证得到新定义的数列为周期数列.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 过点，，圆心在直线上的圆的标准方程为______【答案】【解析】【分析】设圆心为，由，列方程解出和，可得圆的标准方程.【详解】圆心在直线上，设，设圆的半径为，由圆过点，，有，则，解得，，所以圆的标准方程为.故答案为：14. 点关于直线的对称点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据对称点的求法求得正确答案.【详解】设对称点的坐标为，则，解得，所以对称点的坐标为.故答案为：15. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】根据直线方程得到，，，根据勾股定理得到，然后根据不等式求最值即可.【详解】直线可得，直线可整理为，令，解得，所以，因为，所以直线与直线垂直，则，所以点的轨迹为以为直径的圆，，所以，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：.16. 设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为__________．【答案】##0.75【解析】【分析】先通过递推公式求出的通项公式，代入求出的通项公式，最后代入转化为恒成立问题，研究新数列的单调性即可求出最小值.【详解】因为，所以，所以，即，两边同除可得，又因为时，所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列，即，所以，代入不等式可得，即，令，则，所以，因为，所以，所以恒成立，即为单调递增数列，所以，所以，即的最大值为，故答案为：【点睛】关键点睛：数列的恒成立问题往往需要研究数列的单调性，一般通过作差法来判断单调性.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．（1）求点的坐标；（2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值．【答案】（1） （2）4【解析】【分析】（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点；（2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值.【小问1详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，又的坐标为，所以直线的方程为，即．因为BC边上的中线经过点A，由与联立，解得，，所以点的坐标为．小问2详解】依题意可设直线的方程为（，），则．因为，，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为．18. 已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质和求和公式计算；（2）利用分组求和方法计算.【小问1详解】依题意，设数列的公差为，因为，所以，则，因为，即，所以，所以，，所以，即．【小问2详解】因为，所以，所以．19. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．（1）求外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．。