2010年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案.doc

2010年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，包括8道填空题和3道解答题，全卷满分120分，考试时间为150分钟.试 题一、 填空题（每小题8分，共64分）1、已知函数且方程有三个不同的实根，则实数= .2、设表示不超过的最大整数，则 .3、为条共面且不同的直线，若其中编号为的直线互相平行，编号为的直线都过定点．则这条直线的交点个数最多为　　　.4、若将半径为四个篮球在水平地面上任意堆放，则你能堆放的最大高度是 .5、若抛物线的焦点是，准线是，点是抛物线上一点，则经过点且与相切的圆一共有 个.6、若直线和函数且的图象恒过同一个定点，则的最小值为 .7、 若，且，则角的取值范围是 .8、已知半径分别为的两圆外切于，直线为此两圆的外公切线且分别为切点，则　　　　　　． 二、解答题（第9小题16分，第10小题20分，第11小题20分，共56分）9、已知椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，是椭圆上的一点，且满足．（１）求证：是定值；（２）求面积的最小值.10、已知数列满足。

１）求数列的通项公式；（２）求数列的前项和.11、已知是的三边，为斜边，若，求的取值范围.解 答1、 方程有三个不同的实根，即函数的图象与直线有三个交点，由图象知，.2、因为所以.3、100条直线任意两条的组合有,其中编号为的直线互相平行，编号为的直线都过定点，所以这100条直线的交点个数最多为.4、四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相切的堆放在地面上，其中球心相连形成棱长为的四面体，此四面体的高为，所以能堆放的最大高度应是.5、因为点在抛物线上，所以，即，又焦点,由抛物线的定义知，过点且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有四个，故过点且与相切的圆共有四个.6、因为函数的图象恒过点，故，即.又因为所以，等号当且仅当时成立.7、由，设，则，因为函数在上是增函数，所以，又因为，故.8、如图,的半径分别为2,3.设,则,因为直线与相切于,所以 ,由 .注:也可用坐标法或平面几何法.9、由又点、、同为直线上的三点，所以.（1） 设,则.于是点、的坐标分别为.因为点在椭圆上,所以故是一个定值.(2)由(1)得当,即当、、三点共圆时等号成立。

故面积的最小值是10、（1）因为，所以（2）由（1）知： ①①： ②①②:即.11、因为是的三边，为斜边，所以.令,所以又令，因为,所以于是显然在上是减函数,所以，此即为的取值范围.。