知识讲解_复数(基础)[精选]doc.doc

高考总复习：复数编稿：孙永钊 审稿：张林娟【考纲要求】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示3.会进行复数代数形式的四那么运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络】 【考点梳理】考点一、复数的有关概念1.虚数单位:〔1〕它的平方等于，即；〔2〕与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；〔3〕实数可以与它进行四那么运算，进行四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立；〔4〕的周期性：，，，〔〕.2. 概念形如〔〕的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数〔〕，当且仅当时，复数是实数；当且仅当时，复数叫做虚数；当且仅当且时，复数叫做纯虚数；当且仅当时，复数就是实数0.所以复数的分类如下:　　〔〕5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。

即：如果，那么.特别地: .应当理解:〔1〕一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.〔2〕复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小　6.共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数即：复数和〔〕互为共轭复数考点二：复数的代数表示法及其四那么运算1.复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即〔〕，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式2.四那么运算；；复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：考点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：点的横坐标是，纵坐标是，复数〔〕可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

2.复数的几何表示〔1〕坐标表示:在复平面内以点表示复数〔〕；〔2〕向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.向量的长度叫做复数的模，记作.即.要点诠释:〔1〕向量与点以及复数有一一对应；〔2〕两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小3.复数加法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量4.复数减法的几何意义：两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应要点诠释:1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件典型例题】类型一：复数的有关概念【例1】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足：(1)是纯虚数； (2)对应的点位于复平面的第二象限思路点拨】利用复数的有关概念易求得答案】 (1)当即时，复数是纯虚数；(2)当即或时，复数对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。

比如：()；是纯虚数〔〕； 举一反三：【变式1高清视频例题1】复数为纯虚数，那么实数a为(　　)．A．2 B．－2 C．－ D. 【答案】A【解析】，由纯虚数的概念知：＝0，∴a＝2.【变式2】求当实数取何值时，复数分别是：〔1〕实数； 〔2〕虚数； 〔3〕纯虚数解析】 〔1〕当即或时，复数为实数；〔2〕当即且时，复数为虚数；〔3〕当即时，复数为纯虚数.【变式2】已经知道复数满足且,那么复数〔 〕A.必为纯虚数　　　 B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数　　　 　 D.可能是实数也可能是虚数【答案】[法1] 设〔〕，有,.那么，故应选C[法2] ∵,∴.[法3] ∵，∴ .类型二：复数相等【例2】已经知道集合M=｛〔a+3〕+〔b2-1〕i,8｝,集合N=｛3，〔a2-1〕+(b+2)｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件解答】…………………………①或…………………………………………②或…………………………③由①得a=-3,b=2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。

∴a=-3，b=2由②得a=3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;由③得,此方程组无整数解综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2总结升华】1、a+bi=c+di.2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)举一反三：【变式】已经知道复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.【解析】设z2=a+2i(a∈R)，由已经知道复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已经知道z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，那么虚部4-a=0，即a=4，那么复数z2=4+2i.类型三：复数的代数形式的四那么运算【例3】计算：【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数解析】 【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算举一反三：【变式1】【答案】：原式= 　　　 【变式2】复数( ). B. C. D.【解析】选C 解法一： 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案.【例4】已经知道z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，且|z2|＝求z2.【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，∵|z2|＝∴|z2(5＋5i)|＝50，∴z2(5＋5i)＝50，【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1i)2=2i；⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).2、复数的四那么运算类似于多项式的四那么运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。

举一反三：【变式1】设，〔为虚数单位〕，那么的值为 【解析】因为，所以【答案】8【变式2】设i为虚数单位，那么复数A. B. C. D. 【解析】选D. .类型三：复数的几何意义例5.(春 江苏校级其中)已经知道复数，，在复平面内对应的点分别为.(1) 假设是纯虚数，求m值；(2) 假设在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.【思路点拨】在复平面内以点表示复数〔〕，所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零解析】(1)复数是纯虚数， 解得m=0.(2)复数在复平面内对应的点位于第四象限解之得【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应举一反三：【变式1】(春 徐州期末)已经知道是虚数单位，复数满足 (1)求；(2)假设复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数x的取值范围.【解析】(1)由得 (2) 对应的点在第一象限 解得实数的取值范围是.【变式2高清视频复数例题2】在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是(　　)．A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i【答案】C【解析】复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.类型四：化复数问题为实数问题【例6】已经知道互为共轭复数，且,求.【思路点拨】设〔〕代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。

解析】设〔〕，那么, 代入原等式得：∴，解得：或或或，∴ 或 或 或总结升华】复数定义：“形如〔〕的数叫复数〞就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法举一反三：【变式1】已经知道复数，求实数使【答案】：∵, ∴ ∵, ∴，解得或【变式2】令,求使方程成立的复数.【答案】：令()，那么原方程化为:即，∴ ，解之有或(舍去〕∴当时，复数.【例8】求使关于的方程至少有一个实根的实数.【思路点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实解析】设为方程的一个实根，那么有即∴，解得.【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等 举一反三：【变式】已经知道方程有实根，求实数.【答案】：设实根为, 那么,即∴ ，解得∴ 为所求.【变式2】已经知道，方程的两根为、，求.【答案】：∵，∴ 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根 (1)当，即时，方程的根、为实数根， 由韦达定理 又∵ ∴ ①当时，, ②当时，. (2)当,即时，方程的根、为虚根。