2013·新课标全国卷Ⅱ(理科数学) 1． 已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝( )A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}1．A [解析] 集合M＝{x|－110不成立，继续循环．答案为B.7． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )图1－27．A [解析] 在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.图1－48．， 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c8．D [解析] a－b＝log36－log510＝(1＋log32)－(1＋log52)＝log32－log52>0，b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0，所以a>b>c，选D.9．， 已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )A. B. C．1 D．29．B [解析] 直线y＝a(x－3)过定点(3，0) .画出可行域如图，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直线y＝－2x，平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小，即2＋(－2a)＝1⇒a＝ .答案为B.10.，，， 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A．∃x0∈，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝010．C [解析] x→－∞ 时，f(x)<0 ，x→＋∞ 时，f(x)>0，f(x) 连续，∃x0∈ ，f(x0)＝0，A正确；通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x3＋c ，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确； 若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1 ，则f(x)在区间(x1 ，x0)单调递减．C错误．D正确．故答案为C.11．， 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x11．C [解析] 抛物线焦点为F，0 ，由抛物线的定义，设M5－，，设N点坐标为(0，2)．因为圆过点N(0，2)，故NF⊥NM⇒×＝－1，①设＝t，则①式可化为t2－4 t＋8＝0⇒t＝2 ⇒p2－10p＋16＝0⇒p＝2或p＝8 .12．， 已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )A．(0，1) B.C. D.12．B [解析] 方法一：易得△ABC面积为1，利用极限位置和特值法．当a＝0时，易得b＝1－；当a＝时，易得b＝；当a＝1时，易得b＝－1>.故选B.方法二：(直接法) ⇒y＝ ，y＝ax＋b与x 轴交于，结合图形与a>0 ，××＝⇒(a＋b)2＝a(a＋1)>0⇒a＝.∵a>0，∴>0⇒b<，当a＝0时，极限位置易得b＝1－，故答案为B.二、填空题13．、 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．13．2 [解析] 如图，建立直角坐标系，则＝(1，2)，＝(－2，2)，·＝2.14．， 从n个正整数1，2，3，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________．14．8 [解析] 和为5的只有两种情况，1＋4，2＋3，故＝⇒C＝28⇒n＝8.15．， 设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．15．－ [解析] 由tan＝得＝⇒tan θ＝－⇒cos θ＝－3sin θ ，由sin2θ＋cos2θ＝1⇒10sin2θ＝1，θ 在第二象限，⇒sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－ .16．，， 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．16．－49 [解析] 由已知，a1＋a10＝0，a1＋a15＝⇒d＝，a1＝－3，∴nSn＝，易得n＝6或n＝7时，nSn出现最小值．当n＝6时，nSn＝－48；n＝7时，nSn＝－49.故nSn的最小值为－49.17．， △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．17．解：(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.18．，， 如图1－3所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．图1－318．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．设＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取＝(1，－1，－1)．同理，设为平面A1CE的法向量，则可取＝(2，1，－2)．从而cos〈，〉＝＝，故sin〈，〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值为.19．，， 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．图1－419．解：(1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000.所以T＝(2)由(1)知利润T不少于57 000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.20．，， 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．20．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1.＝－1.由此可得＝－＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.(2)由解得或因此|AB|＝.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n－
