西安交通大学硕士研究生2001年入学数学分析试题.doc

陇东学院数学系许万银西安交通大学硕士研究生2001年入学考试《数学分析》试题一. ()按题目要求给出表述:⑴设在点集上有定义,是的一个聚点,给出的Cauchy准则表述.⑵设,含参变量积分收敛, 给出在上一致收敛的Cauchy准则表述.⑶设,,且收敛, 给出在上非一致收敛的Cauchy准则表述.⑷设在区域内连续,给出在内非一致连续的“”表述.⑸依据隐函数存在定理,给出的反函数存在定理的表述.解: ⑴定理:设在点集上有定义,是的一个聚点,则存在的充要条件是,,使得,当,时,有.⑵定理:设,含参变量积分收敛, 则在上一致收敛的充要条件是,,使得当时,,有.⑶定理:设,,且收敛, 则在上非一致收敛的的充要条件是,使得,,,有.⑷定义:设在区域内连续,若,使得,,尽管满足,但.则称在内非一致连续.⑸反函数存在定理:设在的某邻域内具有连续的导数,且.若,则存在的某邻域内的连续可微函数,满足,且当时,.二. ()讨论下列各题:⑴设试讨论其在全平面的连续性,求出不连续点集,并说明该点集是否为开或闭.解:ⅰ>因为,所以.从而在连续.ⅱ>因为不存在,所以当,时, 不存在,因此在处不连续.ⅲ>当时, ,因此在处连续.ⅳ>综上所述的不连续点集为,该点集既不是开集也不是闭集.⑵设,试讨论在上的一致收敛性及在上的一致收敛性(其中,).解:ⅰ>在上非一致收敛.事实上,使得(不妨设),,,尽管满足,,但.ⅱ>在上一致收敛. 事实上当,时,有,而收敛,所以在上一致收敛.⑶ 设,讨论它在的连续性,偏导数的存在性及有界性,可微性.解:ⅰ>因为当时,有,所以在整个平面上有界.ⅱ>因为当时,有,所以.因此在连续.ⅲ>由于, ,即函数在原点的两个偏导数都存在;ⅳ> 当时,有,从而有.因此,有.故在整个平面上有界.同理也在整个平面上有界.ⅴ>若函数在原点可微,则应是较高阶的无穷小量.为此考察极限,此极限不存在,事实上由于.因而函数在原点不可微.三. 证明下列各题: ⑴设在上有定义,且ⅰ>单调有界,ⅱ>函数值充满区间(或),则在上连续.又若条件ⅰ>改为有界(去掉单调性), ⅱ>改为函数值充满区间,能否有上述结论?若有,请证明;若无,请举例.证明:①不妨设在上是单调增加的.则函数值充满区间.,与存在,且有≤≤.下证=.反设＜,则,由于当＜＜时,有. 当＜＜时,有.于是中的值不是函数在上某点的值,这与条件ⅱ>矛盾.因此,有==,即在点处连续.同理可证在点和处连续,故在上连续.②若条件ⅰ>改为有界(去掉单调性),ⅱ>改为函数值充满区间,不能有上述结论成立.例如令则在上有界,且,但在和处间断.⑵用Fermat定理证明:若在上可导,则可取到与之间的一切值().(Fermat定理:设在的某邻域内有定义,且ⅰ>是的极值点,ⅱ>存在.则)证明:不妨设.ⅰ>当时,则因为,所以,使得当时, 有.因此当时,有.因为,所以,使得当时, 有.因此当时,有.因为在上可导,所以在上连续,因此在上有最小值,由前知最小值不可能是或,从而最小值只能在内的某点处取到,这样就是的一个极小值点,又因在处可导,由Fermat定理得.即若在上可导,且,则,使得.ⅱ>当时,,令,则在上可导,且,从而,因此,使得,即.故可取到与之间的一切值.⑶设在有界闭域上连续,用致密性定理证明:在上一致连续.证明:假若在上非一致连续,则,使得,,尽管,但.特别对,则,尽管,但,.这样得点列.因为有界闭域,所以存在收敛子列,设,则.因为,所以.因为在处连续,所以,.从而,但这与()相矛盾.故在上一致连续.⑷设为正项级数,试证:若,则收敛;若,则发散;若或,则的敛散性不能断定.证明:ⅰ>因为,所以对,,使得当时,有,根据比值判别法知收敛.ⅱ>因为,所以对,,使得当时,有,根据比值判别法知发散.ⅲ>例如收敛,但,. 发散,但,.因此若或,则的敛散性不能断定.四. ()解下列各题:⑴设有点列:.求该点列的聚点集,并说明理由.解:因为(其中表示中有理数的全体)又因,,根据有理数的稠密性知,所以,即点列的聚点集是.⑵求球面含在柱面内的面积.解:上半球面的方程为,从而,.所求面积为:.⑶计算矢量沿曲线的环流量,这里为柱面与平面()的交线,且从轴的正向看去,按逆时针方向.解: 的参数方程为:所求环流量为.157 。