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第3章 刚体力学基础,在一只猫从高处摔落的下将过程中，它上半身向一个方向扭转，而下半身会向相反方向扭转且无论从何处摔落，猫通常都能以四脚着地请分析猫在下落及落地过程中体现出哪些物理规律?,,§3.1 刚体运动概述,,主要内容：,1. 刚体模型,2. 刚体的运动形式,3. 刚体的自由度,,,3.1.1 刚体的运动形式,刚体和质点一样是一种理想模型； 刚体可以看成是由无数质点构成的质点组； 刚体无论在多大的力作用下或刚体无论作何运动，刚体中 任意两质点间的距离保持不变；,1. 刚体模型,刚体：在力的作用下，大小和形状都始终保持不变的物体说明,2. 刚体的平动,平动：刚体运动时，若在其内部所作的任何一条直线，在运 动中都始终保持与自身平行的运动形式刚体质心的运动代表平动刚体的运动刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律；,说明,刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线；,刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，各点的运动轨迹都相同；,,,定轴转动: 转轴在所选参考系中固定不动的转动转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)3. 刚体的转动,进动,定轴转动,转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。

定点转动: 在运动过程中，刚体上某一点始终保持不动的运 动形式非定轴转动: 转轴位置随时间变化的转动 进动,,,,平面平行运动：在运动过程中，刚体上任一点和某一固定平 面的距离保持不变的运动形式一般运动:,滚动,铁饼在空中的运动,,除上述几种运动形式外，刚体其它更为复杂的运动形式自由度：确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目3.1.2 刚体的自由度,自由度的概念,火车：自由度为1,飞机：自由度为3,轮船：自由度为2,,,,刚体的自由度,,,,x,y,z,O,,,3个平动自由度 (x、y、z) 确定质心C的位置:,3个方位角 (a、b、g )，其中两个是独立的.,确定刚体绕瞬时轴转过的角度j i = 3+2+1= 6,当刚体受到某些限制——自由度减少§3.2 刚体定轴转动的运动学规律,,主要内容：,1. 描述刚体定轴转动的物理量,2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系,3. 刚体定轴转动运动学的两类问题,,,转动平面：刚体上垂直于固定轴的任意平面定轴转动时，刚体上各质点都绕固定轴作圆周运动，在任意时刻其上各质点的位移、速度、加速度(线量)各不相同运动学中讲过的角坐标、角位移、角速度、角加速度等概念，以及有关公式都可适用于刚体的定轴转动。

3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量,,,,描述刚体定轴转动的物理量是角量,角坐标、角位移 角速度、角加速度,参考方向,,,,任选刚体上的任意点P点为参考点,若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则,,,,角位移,角坐标,刚体定轴转动的运动方程,平均角速度,角速度,瞬时角速度,,刚体转动的角速度矢量,,,参考方向,,,角加速度, 0，角加速度方向与角坐标正方向相同；  0，角加速度方向与角坐标正方向相反刚体定轴转动时，角加速度可看成 是只有正、负的代数量瞬时) 角加速度,刚体转动的角加速度矢量,在一般刚体运动中，角加速度矢量和角速度矢量一般不沿同一方向  的正负与 相同,,,3.2.2 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系,刚体内各质点具有相同的角位移、角速度、角加速度，但由于各质点离转轴的距离和方向各不相同，所以刚体内各个质点的位移、速度、加速度 (线量)各不相同M点的线速度、切向加速度沿圆轨迹的切线，指向由、的正负确定刚体转动时，如果和同号，刚体转动是加速的；如果和异号，刚 体转动是减速的3.2.3 刚体定轴转动运动学的两类问题,第一类问题,已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度,------ 微分问题,第二类问题,已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t),------ 积分问题,对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有,,一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系为 =10t 2，式中 的单位为rad，t 的单位为s 。

根据定义，飞轮的角速度为,飞轮的角加速度为,距转轴r处质点的切向加速度,法向加速度,例,解,求,(1)飞轮的角速度和角加速度； (2)距转轴r处的质点的切向加速度和法向加速度船用螺旋桨的正常转速为120转/min从静止启动均匀地到此转速需时40s当转速为84转/min时运动系统出现振动，转速为96转/min时振动消失螺旋桨的初速度为 ，正常运转角速度为,角加速度 为常量，故,在起动过程中系统振动所持续的时间例,解,求,而,系统开始振动时刻为,系统振动消失时刻为,系统振动所持续的时间为,且,,电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平方成正比根据题意，设,（k为比例常量）,由角加速度的定义，有,分离变量并积分，有,在这段时间内，转子转过的圈数例,解,求,t 时刻转子的角速度为,当t =150s，转子的角速度为,则有,,由此得,由角速度的定义 ，得转子在150s内转过的角度为,因而转子在这一段时间内转过的圈数为,,§3.3 刚体绕定轴转动定律,,主要内容：,1. 力矩,2. 刚体绕定轴转动定律,3. 转动惯量,4. 定轴转动定律的应用,,,,力的大小、力的方向和力的作用线相对于转轴的位置是决定刚体转动效果的重要因素。

3.3.1 力矩,力臂：,力 对转轴z的力矩:,若刚体所受力 在转动平面内,,,,,,,若刚体所受力 不在转动平面内,在定轴转动中，只有 起作用,力 对转轴z的力矩,平行于转轴 分量不能使刚体发生转动,,对于刚体的定轴转动，力矩Mz可看成是代数量力矩的正 负由右手螺旋法则确定从z轴正端向负端看，若力F使刚体沿逆时针方向转动，则力矩Mz为正，反之为Mz为负说明,对于刚体的定轴转动，力矩Mz也可认 为是矢量即,几个作用力同时作用在一个绕固定轴转动的刚体上时, 合力矩等于这几个力各自的力矩的代数和方向：满足右手螺旋法则对Pi :,两边同乘以 ri ：,切向：,对刚体中所有质点求和,和 的法向分力作用线通过转轴，其力矩为零3.3.2 刚体绕定轴转动定律,,,,,,,,其中内力的力矩之和为,所以,,合外力矩,刚体的转动惯量,（刚体定轴转动定律）,作用在刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与所获得的角加速度的乘积刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢 量关系式，即,力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如 同质点力学中的 ；,刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物 理量都是相对于同一转轴而言的；,讨论,刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩；,刚体定轴转动定律仅适用于惯性系。

3.3.3 转动惯量,对质量连续分布的刚体,对质量离散分布的质点系,转动惯量的定义,刚体对某转轴的转动惯量 J 等于刚体内每个质点的质量与这个质点到该转轴垂直距离平方乘积之和计算转动惯量的基本公式,质量线分布，为线密度( ),质量面分布，为面密度( ),质量体分布，为体密度( ),,(2) 刚体的总质量：,转动惯量J的物理意义：表示刚体在转动中惯性的大小的量度讨论,------ 转动惯量J越大，转动状态越不容易改变影响转动惯量J大小的三个因素,(1) 刚体的转轴位置：,同一刚体依不同的转轴而有不同的J ；,刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；,(3) 质量相对转轴的分布：,转动惯量与其形状、大小和密度分布有关转动惯量叠加定理,平行轴定理,,,,z,d,,,C,m,z',,,作业,3.1(2)，3.1(5)，3.3，3.4，3.5,,3.3.3 转动惯量,对质量连续分布的刚体,对质量离散分布的质点系,转动惯量的定义,刚体对某转轴的转动惯量 J 等于刚体内每个质点的质量与这个质点到该转轴垂直距离平方乘积之和计算转动惯量的基本公式,质量线分布，为线密度( ),质量面分布，为面密度( ),质量体分布，为体密度( ),,(2) 刚体的总质量：,转动惯量J的物理意义：表示刚体在转动中惯性的大小的量度。

讨论,------ 转动惯量J越大，转动状态越不容易改变影响转动惯量J大小的三个因素,(1) 刚体的转轴位置：,同一刚体依不同的转轴而有不同的J ；,刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；,(3) 质量相对转轴的分布：,转动惯量与其形状、大小和密度分布有关转动惯量叠加定理,平行轴定理,,,,z,d,,,C,m,z',,,,,,在细杆上x 处取线元dx,(1) 取如图所示的坐标,,细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为,试求质量为m，长为l 的均质细杆对如下给定轴的转动惯量 (1) 转轴垂直于杆并通过杆的中点； (2) 转轴垂直于杆并通过杆的一端解,,,,,(2) 以细杆的一端 为坐标原点，取如图所示的坐标,例,线元的质量为,则此时的转动惯量为：,,解法二：用平行轴定理,,,均质细圆环的质量线密度为,由于圆环上各线元到转轴的距离均为R，所以圆环对该轴的转动惯量为,,,,试求一质量为m，半径为R的均质细圆环对通过其中心且垂直于环面的转轴的转动惯量在圆环上任取长度为dl 的线元，该线元的质量为,解,例,,,,任取一半径为r，宽度dr的圆环薄圆盘可以看成是许多半径不同的同心圆环的集合圆环对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量为,试求半径为R ，质量为m的均质薄圆盘，对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量。

解,例,则整个圆盘对该轴的转动惯量为,薄圆盘的质量面密度,圆环的质量为:,,常见刚体的转动惯量,,3.3.4 刚体定轴转动定律的应用,已知转动运动方程θ=θ( t ) ，求刚体所受合外力矩M； 已知刚体所受合外力矩 M 及初始条件，求刚体的角加速度  、角速度ω和转动运动方程刚体动力学的两类问题,对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体 列出定轴转动定律方程； 注意利用角量与线量的关系应用定轴转动定律求解刚体动力学的一般思路,要注意正确选取角速度、角加速度和力矩的正负；,除了受力分析，还要进行力矩分析在进行受力、力矩分 析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩；,,,滑块A、重物B的质量分别为m1和m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为m3、半径为r的定滑轮C（可视为均质圆盘）滑块A与水平桌面间的滑动摩擦系数为μk，滑轮与轴之间的摩擦可忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动的力矩：,受力分析,的力矩：,例,解,力矩分析,,,,,, 取如图所示的正方向,列动力学方程,对滑块A ：,若重物B下降时，滑块A的加速度a及绳中的张力求,,,对滑轮C,（均质圆盘）,对重物B,且,求解以上方程，得,,,如图，一钟摆由长度为l，质量为m1的均质细杆和固定在其一端的质量为m2的摆球（可以看作质点）构成。

钟摆可绕过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落受力分析如图,钟摆所受的合外力矩（重力的力矩）,例,解,求,放手后钟摆摆到角位置时的角加速度和角速度钟摆系统的总转动惯量,,由刚体定轴转动定律，有,而,,,如图，一半径为R、质量为m的均质圆盘平放在粗糙的水平面上，设圆盘与水平面的摩擦系数为μk，摩擦力均匀地分布于圆盘的底面若圆盘绕垂直于圆盘中心的OO′轴转动，初速度为ω0例,解,受力分。