2024年冀教版九年级上册教学设计第24章24.2 解一元二次方程.docx

第1课时　配方法 课时目标1.了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,体会转化、降次的数学思想方法.3.通过对配方法的探究活动,培养学生勇于探索的学习精神,感受数学的严谨性,增强运算能力和推理能力. 学习重点用配方法解一元二次方程. 学习难点探索并掌握配方法的关键——添加常数项. 课时活动设计复习导入1.如果x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根.2.如果x2=a(a≥0),则x=　±a　. 3.如果x2=64,则x=±8.4.任何数都可以作为被开方数吗?解:负数不可以作为被开放数. 设计意图:让学生回顾平方根的定义,引导学生体会理解求一个非负数的平方根实际上就是求x2=a(a≥0)这一特殊形式的一元二次方程的解.探究新知探究1　直接开平方法根据平方根的意义,解下列方程:(1)x2=4;　　　　　(2)x2=0;　　　　　(3)x2+1=0.解:(1)x1=-2,x2=2.(2)x1=x2=0.(3)x2=-1.因为负数没有平方根,所以原方程无实数根.问题1:上述方程有什么共同点?你能归纳一下这类方程的根的情况吗?学生独立思考或小组交流,教师引导学生观察分析,上述方程均可写为x2=n的形式,并根据n的取值范围可以得到方程根的三种情况.归纳:一般地,对于可化为方程x2=n的情况,(1)当n>0时,根据平方根的意义,方程x2=n有两个不相等的实数根x1=-n,x2=n;(2)当n=0时,根据平方根的意义,方程x2=n有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当n<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以x2=n无实数根.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.问题2:对照上面的方法,你认为怎样解方程(x+1)2=4?在解方程时,由方程x2=4,得x=±2.由此想到,可将(x+1)看成一个整体,得x+1=±2.则x+1=-2,x+1=2.∴x1=-3,x2=1.实质上是把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程,这样就把原方程转化为我们会解的方程.问题3:用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?如果一个一元二次方程具有x2=n(n≥0)或(x+m)2=n(n≥0)的形式,那么就可以直接用直接开平方法求解.问题4:用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么?首先将一元二次方程化为等号左边是含有未知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的定义求解.探究2　配方法问题1:填一填下列完全平方公式.a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b=(a-b)2做一做:填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2+12x+　62　=(x+6)2;(2)x2-6x+　32　=(x-3)2; (3)x2-4x+　22　=(x-2)2;(4)x2+8x+　42　=(x+4)2. 教师出示问题,学生先独立思考或合作交流,进行汇报.教师可引导学生复习完全平方公式的特点.问题2:观察上面的等式,等号左边的常数项和一次项系数有什么关系?对于二次项系数为1的完全平方式,常数项等于一次项系数一半的平方.问题3:解方程(1)x2+2x+1=4;(2)x2+2x-3=0.分析:(1)方程x2+2x+1=4可变形为(x+m)2=n(n≥0)的形式,即(x+1)2=4,开平方,得x+1=±2,即x1=1,x2=-3.(2)将方程(2)和方程(1)对比,将方程x2+2x-3=0和x2+2x+1=4一样,变形为(x+m)2=n(n≥0)的形式.x2+2x-3=0x2+2x=3x2+2x+1=3+1(x+1)2=4x+1=±2x1=1,x2=-3问题4:一元二次方程配方时,方程两边加同时加上什么数,可使等号左边配成完全平方式?配方时,先将常数项移至另一边,再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.归纳:通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边为常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.思考:对于方程2x2+4x+1=0,如何用配方法求解呢?分析:因该方程二次项系数不为1,所以不能直接配方,根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数,可将二次项系数化为1进行求解.解:移项,得2x2+4x=-1.二次项系数化为1,得x2+2x=-12.配方,得x2+2x+1=-12+1,即(x+1)2=12,∴x+1=±22,∴x1=-1+22,x2=-1-22. 设计意图:通过平方根的意义,引出用直接开平方法解一元二次方程,为配方法的学习作铺垫;分层次的问题设置,让学生在已有知识的基础上,独立完成问题,体会“降次”的数学思想,增强学生的自信心,符合学生的认知特点.典例精讲例1　用配方法解下列方程:(1)x2-10x-11=0;　(2)x2+2x-1=0.解:(1)移项,得x2-10x=11.配方,得x2-10x+52=11+52,即(x-5)2=36.两边开平方,得x-5=±6.所以x1=11,x2= -1.(2)移项,得x2+2x=1.配方,得x2+2x+12=1+12,即(x+1)2=2.两边开平方,得x+1=±2.所以x1=-1+2,x2= -1-2.例2　用配方法解方程:2x2+3=6x.解:移项,并将二次项系数化为1,得x2-3x=-32.配方,得x2-3x+322=322-32.即x-322=34.两边开平方,得x-32=±32.所以x1=3+32,x2=3−32. 设计意图:通过例题讲解,进一步巩固用配方法解二次项系数为1和二次项系数不为1的一元二次方程,培养学生的分析能力和灵活运用能力,渗透化归的基本思想.合作交流用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?与同学交流你的想法.1.移项:把常数项移到方程的右边;2.二次项系数化为1:方程两边同时除以二次项系数;3.配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;4.开方:根据平方根的意义,将一元二次方程转化为两个一元一次方程;5.求解:解一元一次方程得到一元二次方程的根. 设计意图:让学生归纳总结用配方法解一元二次方程的步骤,通过独立思考、分析、展示,培养学生观察能力及归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第39页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.2.七彩作业. 教学反思  第2课时　公式法 课时目标1.经历推导求根公式的过程,培养学生数学推理能力及严谨性.2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况,会用公式法解简单系数的一元二次方程.3.通过探究和应用一元二次方程的求根公式,认识特殊与一般的关系,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的推理能力和数学建模意识. 学习重点求根公式的推导及用公式法解一元二次方程. 学习难点一元二次方程求根公式的推导过程. 课时活动设计复习导入用配方法解方程3x2-6x-5=0.解:移项,并将二次项系数化为1,得x2-2x=53.配方,得x2-2x+12=53+12.即(x-1)2=83.两边开平方,得x-1=±263.所以x1=1+263,x2=1-263. 设计意图:巩固配方法解一元二次方程的步骤,既训练了解一元二次方程的技能,又为下面求根公式的推导作铺垫.探究新知你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?学生根据配方法的步骤解ax2+bx+c=0(a≠0).解:移项,得　ax2+bx=-c　. 二次项系数化为1,得　x2+bax=-ca　. 配方,得x2+bax+ b2a2　=-ca+ b2a2　. 整理,得 x+b2a2=b2-4ac4a2　. 思考:(1)等号两边能直接开平方吗?(2)认真观察,方程的根与哪些因素有关?学生自主探索,小组交流.因为a≠0,所以4a2>0,则需对b2-4ac的值分情况讨论.①当b2-4ac>0时,b2-4ac4a2>0,得x+b2a=±b2-4ac2a.方程有两个不相等的实数根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.②当b2-4ac=0时,b2-4ac4a2=0,得x+b2a2=0.方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③当b2-4ac<0时,b2-4ac4a2<0,而x+b2a2≥0,所以方程没有实数根.于是我们得到,对于一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式.记作“Δ”可用于判别一元二次方程根的个数.由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0.当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. 设计意图:教师引导学生自主探究,经历推导一元二次方程求根公式的过程,加深学生对求根公式的理解,从而总结出公式法的概念.同时在探究交流过程中培养了学生分析问题,解决问题的能力,以及从特殊到一般的总结概括能力和分类讨论思想.典例精讲例1　不解方程,判别下列方程根的情况.(1)x2+3x+2=0;　　(2)x2-4x+4=0;　　(3)2x2-4x+5=0.解:(1)a=1,b=3,c=2.∵b2-4ac=32-4×1×2=1>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(2)a=1,b=-4,c=4.∵b2-4ac=(-4)2 -4×1×4=0,∴原方程有两个相等的实数根.(3)a=2,b=-4,c=5.∵b2-4ac=(-4)2 -4×2×5=-24<0,∴原方程没有实数根.例2　用公式法解下列方程.(1)4x2+x-3=0;　　(2)x2-2x-5=0.解:(1)a=4,b=1,c=-3.∵b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0,∴x=-1±492×4=-1±78,即x1=34,x2=-1.(2)a=1,b=-2,c=-5.∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-5)=24>0,∴x=-(-2)±242×1=2±262,即x1=1+6,x2=1-6. 设计意图:通过练习,熟悉并归纳公式法解题的一般过程,加深学生对于根的判别式和公式法的理解,培养学生解题能力及归纳总结能力.方法归纳用公式法解一元二次方程的一般步骤:1.把方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),并写出a,b,c的值;2.求出b2-4ac的值,判断方程有无实数根;3.若。