金老师教育高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性.docx

5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质第1课时　周期性与奇偶性学习目标　1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．知识点一　函数的周期性1．函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．思考　周期函数的周期是否唯一？答案　不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)，(n∈Z，且n≠0)．知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin xy＝cos x图象定义域RR周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数思考　判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？答案　若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数．1．因为sin＝sin ，所以是函数y＝sin x的一个周期．(　×　)2．因为sin(2x＋2π)＝sin 2x，所以函数y＝sin 2x的最小正周期为2π.(　×　)3．函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　×　)一、三角函数的周期例1　求下列函数的周期：(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝|sin x|.解　(1)方法一　定义法∵f(x)＝cos＝cos＝cos＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝cos的最小正周期T＝π.方法二　公式法∵y＝cos，∴ω＝2.又T＝＝＝π.∴函数f(x)＝cos的最小正周期T＝π.(2)方法一　定义法∵f(x)＝|sin x|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为π.方法二　图象法作出函数y＝|sin x|的图象如图所示．由图象可知T＝π.(学生留)反思感悟　求三角函数周期的方法(1)定义法：利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．跟踪训练1　(多选)下列函数中，周期为4π的是(　　)A．y＝sin B．y＝cosC．y＝ D．y＝2cos x答案　AD解析　由周期公式知A，D中的函数周期为T＝＝＝4π.B中T＝＝＝π.∵y＝sin 的周期为T＝＝4π，∴y＝的周期为T＝2π，故选AD.二、三角函数的奇偶性例2　(1)已知函数f(x)＝sin，则函数f(x)为(　　)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案　B解析　函数的定义域为R，关于原点对称．因为f(x)＝sin＝cos x，所以f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)判断下列函数的奇偶性．①f(x)＝sin xcos x；②f(x)＝＋.解　①函数的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，∴f(x)＝sin xcos x为奇函数．②由得cos x＝1，∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．反思感悟　判断函数奇偶性的方法(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．跟踪训练2　(1)下列函数中周期为，且为偶函数的是(　　)A．y＝sin 4x B．y＝cos xC．y＝sin D．y＝cos答案　C解析　显然周期为的有A和C，又因为y＝sin＝cos 4x是偶函数，故选C.(2)函数f(x)＝x2cos的奇偶性是________．答案　奇函数解析　f(x)＝x2cos＝－x2·sin x.f(x)的定义域为R，f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)A．－ B. C．－ D.答案　D解析　f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ＝.延伸探究1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其它不变，则f 的值为________．答案　－解析　f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝－f ＝－sin ＝－.(教师留)2．若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f ＝－f(x)，f ＝1，则f 的值为________．答案　1解析　∵f ＝－f(x)，∴f(x＋π)＝－f ＝－(－f(x))＝f(x)，∴T＝π，∴f ＝f ＝f ＝f ＝1.反思感悟　三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个．跟踪训练3　(1)奇函数f(x)满足f ＝f(x)，当x∈时f(x)＝cos x，则f 的值为________．答案　－解析　∵f ＝f(x)，∴T＝，∴f ＝f ＝f ＝－f ＝－cos＝－cos ＝－.(2)函数y＝f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝________.答案　3解析　T＝3，且f(x)为偶函数．又2 020＝673×3＋1，∴f(2 020)＝f(673×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝3.1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　)A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数答案　A解析　由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．2．下列函数中，周期为的是(　　)A．y＝sin B．y＝sin 2xC．y＝cos D．y＝cos(－4x)答案　D解析　y＝cos(－4x)＝cos 4x.T＝＝.3．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数答案　B解析　∵sin＝－sin＝－cos 2x，∴f(x)＝－cos 2x.又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．4．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．答案　4解析　由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.5．已知f(x)为奇函数，且周期为，若f ＝－1，则f ＝________.答案　1解析　T＝，∴f  ＝f ＝f ＝－f ＝－(－1)＝1.1．知识清单：(1)周期函数的概念，三角函数的周期．(2)三角函数的奇偶性．(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用．2．方法归纳：定义法、公式法、数形结合．3．常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝.1．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　)A. B．π C．2π D．4π答案　D解析　由题意T＝＝4π.2．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于(　　)A．x轴对称 B．原点对称C．y轴对称 D．直线x＝对称答案　B解析　y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称．3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可以是(　　)答案　B解析　由f(－x)＝f(x)，得f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)的周期为2.故选B.4．(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是(　　)A．y＝|cos x| B．y＝sin 2xC．y＝sin D．y＝cos x答案　AC解析　由y＝|cos x|的图象知，y＝|cos x|是周期为π的偶函数，所以A正确．B中函数为奇函数，所以B不正确．C中y＝sin＝cos 2x，所以C正确．D中函数y＝cos x，T＝4π，所以D不正确．5．(多选)函数f(x)＝sin(2x＋φ)是R上的偶函数，则φ的值可以是(　　)A. B．π C. D．－答案　ACD解析　∵f(x)为偶函数，则需把f(x)化成y＝±cos 2x的形式，∴φ＝＋kπ，k∈Z，故选ACD.6．函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且f(－3)＝－3.则f(99)＝________.答案　3解析　T＝4，f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝3.7．函数f(x)＝sin(ω≠0)，f(x)的奇偶性是________，若f(x)的周期为π，则ω＝________.答案　偶函数　±2解析　f(x)＝sin＝－cos ωx.∴f(－x)＝－cos(－ωx)＝－cos ωx＝f(x)，∴f(x)为偶函数，又T＝π，∴＝π，∴ω＝±2.8．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈R，且以为最小正周期．若f ＝，则sin α的值为________．答案　±解析　因为f(x)的最小正周期为，ω>0，所以ω＝＝4.所以f(x)＝3sin.因为f ＝3sin＝3cos α＝，所以cos α＝.所以sin α＝±＝±.9．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝|sin x|＋cos x.解　(1)f(x)＝sin＝－cos x，x∈R.又f(－x)＝－cos＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．(2)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以此函数是偶函数．10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解　(1)y＝sin x＋|sin x|＝图。