2025年高考数学一轮复习：基本不等式及其应用（十八大题型）（练习）（原卷版）.pdf

第04讲基本不等式及其应用目录0 1 模拟基础练.3题型一：基本不等式及其应用.3题型二：直接法求最值.4题型三：常规凑配法求最值.4题型四：化为单变 法.4题型五：双换元求最值.4题型六：“1”的代换求最值.5题型七：齐次化求最值.5题型八：利用基本不等式证明不等式.5题型九：利用基本不等式解决实际问题.6题型十：与a+b、平方和、成有关问题的最值.7题型十一：三角换元法.8题型十二：多次运用基本不等式.9题型十三：待定系数法.9题型十四：多元均值不等式.9题型十五：万能K 法.10题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题.10题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题.10题型十八：整体配凑法.110 2 重难创新练.11真题实战练.13题型一：基本不等式及其应用1.（2024 高 三 安徽芜湖期末）几何原本第二卷中的几何代 数 法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点/在半圆O 上，且尸，A 5,点C 在直径A 3 上运动.作交半圆设 AC=a,B C =b,则由产C 2 CD可以直接证明的不等式为（）A.(0,Z?0)C篝“尸)B.a2+b2 2ab(0,Z?0)D.yab 0,0)2.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）已 知 所。

求 讶 的 最 小 值；解答过程：价 =2；元+5求函数y=j 2 4的最小值;解答过程:可化得y=&+4 设 X 1,求 =尤+=的 最 小 值；解答过程：y=x+2.l ,X-1 x-1 V x-1当且仅当X=三 即 X=2 时等号成立，把X=2代入2*三得最小值为4.x-1 x-1A.0 个 B.1 个3.下列不等式一定成立的是()A.lg，+；)lg x (x0)C.%2+1 2|x|(xeR)C.2 个 D.3 个B.sin x-N 2(x W k/c,k G Z)sinxD.1(xsR)x+1题型二：直接法求最值4.（2024 上海普陀二模）若实数J 6满足力 0,则2+彘的最小值为5.（2024 高三 上海青浦-期中）若力 R且满足=8,h2则 的 最 小 值 为166.若x 0,贝IJx+3的最小值为X题型三：常规凑配法求最值7.若则X+士 的 最 小 值 是8.若X -1,则函数/（x）=三的值域是.9.若一lv x v l,贝!Jy=2%2A.最大值-1 B.最小值-1C.最大值1D.最小值1 2x+2*/、-有（）题型四：化为单变量法1 0.若a+Z?+c=4,3a+2bc=0,则 的 最 大 值 为（）A-1B Vc-ID.县311.（2024 高三河南漂河期末）设正实数X、V、z满足三-孙+V-z =0,贝 的 最 大 值 为（）Z12.13.14.15.A.4B.2C.3D.18已知正数X,满足3 1=夕，则X+一的最小值为y已知,y K R+,若2元+y+9=7,则+2 y的最小值为题型五：双换元求最值6 2（2024.全国.模拟预测）已知x 。

不=1,则2的最小值为（2024 高三福建龙岩期中）已知x 0,y 0且 必+3丁+4孙=8,则3x+5 y的最小值为题型六：1 的代换求最值16.（2024 高三江苏南京开学考试）函数y=log.（无+2）-3（0 且1）的图象恒过定点A,若点AY l 1在直线侬+y+l=0 上，其中m n 0,则一+一的 最 小 值 为.m n17.（2024 四川南充二模）已 知 羽 y 是实数，x 0,y Q,且+y=4,则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _x y18.（2024 陕西西安模拟预测）若直线2 g:+y-4 =0 0 0,0）过函数y=loga（x-l）+2（a 且 a w l）的定点T,则二n+24的最小值为.m n19.（2024 上海徐汇二模）若正数a、满足I+g=1,则 2a+6 的最小值为_ _ _ _ _.a b题型七：齐次化求最值20.（2024 高 三 浙 江 开学考试）已知正实数，满足x+2y=l,则+二 的 最 小 值 为.1-Y221.已知1 0,y 0,丁+、3=尤 _,则 一 1的最小值是（）yA.2 B.2+百 C.75+2 D.2 0 +2题型八：利用基本不等式证明不等式22.已知。

b,c为正数，函 数/（%）=,+4+卜+4+,一小 若a=b=c=2,求 的 最 小 值；若 0）=1 且b,c不全相等，求证：bic+c?a+ccbabc-23.不等式选讲已知,瓦均为正实数，函 数/（九）=卜-4力+,+9q+的最小值为4.（1）求证：ab+bc+ca9abc；（2）求证：6yfab+3y/bc+2yca 0,b 0,且a+b=2.求 Y+/的最小值；（2）证明：而T+历Tv2虚.题型九：利用基本不等式解决实际问题25.（2024 黑龙江二模）不以规矩，不能成方圆”出 自 孟子 离娄章句上.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角a 满足cosa=；,则这块四边形木板周长的最大值为（）26.（2024 广东韶关 二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是卬=（长+4）x（宽+4）,在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）A.10000B.10480C.10816D.1081827.（2024 高 三 山东济宁开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员现将5g的祛码放在天平的左盘中，取出阴黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出“黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.则（）A.x+y10 B.x+y=10C.x+j0,K 0,L0,0al,0Pl.当A 不变，K 与乙均变为原来的2倍时，下面结论中正确的 是（）A.存在。

g 和P 和夕!，使得变为原来的2倍C.若击%则Q 最多可变为原来的2倍D.若公+=9，则最多可变为原来的2倍29.某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需 要 12天完成，只由一名女社员分装时，需 要 18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男、女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（）A.10 B.15 C.30 D.45题型十：与 +瓦平方和、ab有关问题的最值30.（多选题）（2024 全国模拟预测）若 实 数 处 b 满足3片+3廿+4 =5,则下列结论正确的是（）2A.ab 2 D.-y/2 a+b4C.a+4b 13B.xy9C.x2+/0,1 3+7 =1，则下列说法正确的是（a bA.b 的最小值为12B.a+b的最小值为4抬C./+/的最小值为24)D.1 +3的最小值为2a 1 b 3题型十一：三角换元法34.（多选题）由知实数。

b 满足/+4/=2,贝【J（）A.ab的最大值为gB.a+b的最大值为26C.a b GVio A/TOD.当 0，乎 时,消;的 最 大 值 为 冷35.（多选题）（2024 全国模拟预测）实数匕满足/+4/=2,A.贝 U（）7 1ab 2B.人的最大值为2 0C.a b GVio TipD.（+2粗 片+防 3）的最大值为36.（多选题）若x,y 满足+必-冲=1,则下列结论正确的是（)A.x+y-2C.x2+y2 3题型十二：多次运用基本不等式3 7.已知 0,b 0,则a+Z?4 的最小值为_ _ _ _ _.a b38.（224 黑龙江二模）已知实数，则办:+9 取得最大值时,a+b的值为（）A.73 B.273 C.-2A/3D.2代 或-2退3 9.若实数a,6 满足协 0,则+4+的最小值为（ab)A.8 B.6 C.4D.24 0.已知0力0则4 +A+的最小值为（）7 abA.2 B.2 0 C.4D.5题型十三：待定系数法4 1.（云南师范大学附属中学2023-2024学年高三4 月月考数学试题）已知实数1,V,Z不全为0,则1+的最大值为()x+y+zA.逅 B.更 C.叵2 2 2D,6242.（2024 山西运城二模）若 a,b,c 均为正实数，则ab+bc,.小、r/a2+2b2+c2的取大值为)A.1 B.-C.正2 4 2D.县2题型十四：多元均值不等式43.已知母=1(尤 0),则16x+y2的 最 小 值 为.A A-y M z；z./81+4,9+4*3*+1%曰 /古 曰 /、44.函数=-的最小值是()V 7 9尤+2Q 1 QA.2A/2 B.3 C.D.-题型十五：万能K 法4 5.已 知 实 数 满 足 1+4 廿+必=1，贝 必 的 最 大 值 为.46.（2024 湖南衡阳模拟预测）已知实数天,兀 满足/+盯+3/=3,贝 ix+y的最大值为（）AR6A/1T 6 +1 门 g +3A.-D.-C.-D.-H 11 3 347.（2024 高 三 重 庆 期 中）已知x,y e R,且 犬+4/=3,则;x+y 的 最 大 值 为.题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题O 1 148.（2024 辽宁大连一模）对于任意的正数相，n,不 等 式-+成立，则九的最大值为一m n 2m+n49.（2024 高 三 山东滨州期末）若不等式f-砒+42 0对任意xl,司恒成立，则实数。

的取值范围是（）A.0,4 B.（-8,4 C.（一00，：D.（-oo,51 25 0.若两个正实数x，y 满足一+=1且不等式2 x+y /+2 机恒成立，则实数机的取值范围是（）x yA.2）B.（-2,4）C.(-00,-4)U(2,+00)D.(-co,-2)1(4,+co)题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题5 1.已知x 0,y 0,向量&=（x,y）,6=（2,l）,a 力=1,则的最大值为.52.（2024 河南新乡二模）在直三棱柱4 4 c ABC中，BC,AG=244,=4,则该三棱柱的体积的 最 大 值 为.53.（2024 四 川 南 充 二 模）在 ABC中，a,b,C分别为内角A,B,C 的 对 边.已 知 a=2,2sinB+2sinC=3sinA.则 cosA 的 最 小 值 为.54.（2024 湖南模拟预测）已知巩尸为锐角，且 tan a-tan +2tanctan2/?=0,则ta n a 的最大值为（）A.立 B.受 C.克 D.万4 3 2题型十八：整体配凑法55.（2024 四川成都三模）若正实数/满 足/+廿=加，贝的最大值为（用加表示）.56.对于正数力，有（2而+l）（a+b）=6 a b,则a+6 的取值范围是（）A.（0,1 B.1,A/3 C.1,2 D.2,+0且=a+%+3,则a+b 的 取 值 范 围 为.58.若。

0,0,相=2（1+4,则 机 的 最 小 值 为.a+b1.（2024 陕西西安模拟预测）下列说法错误的是（）A.若正实数匕满足1,则 工+，有最小值4a bB.若正实数a/满足如=1,则2“+4 22近c.y=+3+/的最小值为4 VX2+3 3D.若贝|aZ?+lva+b2.（2024 河南焦作模拟预测）已知正数尤，V满足。