2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题概要.doc

2003年全国初中数学结合竞赛决赛试题一、选择题（每题7分，共42分）1、23－22＋17－122＝＿＿A5－42B42－1C5D12、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是＿＿个A0B1C3D53、若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝x－1的图象订交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为＿＿A1B2CkDk24、满足等式xy＋xy－2003x－2003y＋2003xy＝2003的正整数对的个数是＿＿DA1B2C3D4E5、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD∶AB＝1∶3若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为3，则EC的值为＿＿A1B1C1A4EA234D156、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则ED的长为＿＿A3B4C15D1645二、填空题（每题7分，共28分）1、抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若△ABC是直角三角形，则ac＝＿＿＿＿2、设m是整数，且方程29而小于3，则3x＋mx－2=0的两根都大于－57Cm=_______A3、如图，AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的均分线，若AA1＝BB1＝EBAB，则∠BAC的度数为＿＿。

4、已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大合约数的105A倍，那么a、b中较大的数是＿＿1三、（此题满分20分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延伸CA、CB到点E、F，使DE＝DF；过E，F分别作CA、CB的垂线，订交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE＝∠PBFCADEMNP四、（此题满分20分）已知实数a、b、c、d互不相等，且a＋1＝b＋1＝c＋1abc＝d+1＝x，试求x的值dCBB1DBF五、已知：四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16①这样的四边形有几个？②求这样的四边形边长的平方和的最小值2003年全国初中数学联赛答案：第一试一、1、(D)；2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360o，故外角中钝角的个数不超出3个，即内角中锐角最多不超出3个3、(A)；设A(x,y)，则xy1，故11与△SABOxy2又由于△ABOCBO2同底等高，因此，SABC2SABO14、(B)；由已知等式可得(xy2003)(xy2003)0而xy20030，因此，xy20030故xy2003又由于2003为质数，必有x1或x2003y2003y15、(B)；如图3，连接BE，SADE131A44D设CEx，则SABE1x。

EAC1x1,x1故CE1SADEBC344EA36、(D)；如图4，连接AC、CE由AE∥BC，知四边形ABCE是等腰梯形故AC＝BE＝5DC又由于Dc∥AB，DC与圆相切，因此，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4DC216E由于DC2ADDE，故DEABAD5二、1、－1；设A(x1,0),B(x2,0)由△ABC是直角三角形可知x1,x2必异号则x1x2c0a由射影定理知OC2x1x2c；故ac1,ac1AOBO，即c2a9293m0522、4；由题设可知，5233203m77解得38m413故m421453、12o；设∠BAC的度数为x因ABBB'，故∠B'BD2x,CBD4x又ABAA'，则∠AA'BABA'＝∠CBD＝4x由于∠A'AB1x)(180故1(1802x)4x4x180，解得x12o24、225；设(a,b)＝d，且amd，bnd，其中mn，m与n互质于是a,b的最小公倍数为mnd依题意有mdnd1203mnd，即(mn)d235(1)d105mn357(2)又mn，据式(2)可得m105m35m21m15n1n3n5n7依照式(1)，只能取m15，可求得d15n7故两个数中较大的数是md225。

第二试A卷一、解：设前后两个二位数分别为x,y，10x,y99有(xy)2100xy；即x22(y50)x(y2y)0当△＝4(y50)24(y2y)4(250099y)0即250099y0，则y25时，方程有实数解x50y250099y由于2500－y必为完好平方数，而完好平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故y仅可取25；此时，x30或20故所求四位数为2025或3025二、(1)如图，据题设可知，DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM故∠AMD＝∠BND由于M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点，因此，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM又已知DE＝DF，故△DEM≌△FDN(2) 由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND，则∠AME＝∠BNF而△AME、△BNF均为等腰三角形，因此，∠PAE＝∠PBF三、解：由已知有1x①；b11x③；d1④ax②；cxb1cda由式①解出b⑤xa式⑤代入式②得cxa⑥x2ax1将式⑥代入③得xa1x2ax1xd即dx3(ad1)x2(2da)xad10⑦由式④得ad1ax，代入式⑦得(da)(x32x)0由已知da0，故x32x0CBDFANE MP若x0，则由式⑥可得ac，矛盾。

故有x22,x2B 卷一、同(A卷)第一题的解答二、如图，分别取AP、BP的中点M、N连接EM、DM、FN、DN由D是AB的中点，则DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM故∠AMD＝∠BND又由于M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点，因此，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM由于DE＝DF，则△DEM≌△FDN故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF而△AME、△BNF均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF三、(1)如图，记AB＝a，CD＝b，AC＝l，并设△ABC的边AB上的高为h1，△ADC的边DC上的高为h2则CDBAFEMNPAaBlh1＝1(h1ah2b)1l(ab)h2bS四边形ABCDSABCSADCDC22仅当h1h2l时等号建立即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时等号建立由已知可得64l(ab)又由题设ab16l，可得64l(16l)64(l8)264于是，l8,ab8，且这时AC⊥AB，AC⊥CD因此，这样的四边形有以下4下：。