高等数学三第三章矩阵理论.ppt

§1 矩阵及其运算,一、矩阵的定义,例1 设某物质有m个产地，n个销地，如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：,1. 实际例子,,,,,,销地,销量,产地,1,2,…,j,… …,n,记,例2 解线性方程组,,,,代替：,由m×n个数aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表,称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)m×n，通常用大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素2. 定义,注意：,(1) 只有一行的矩阵 A1×n =(a1 a2 … an) 称为行矩阵,(2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的3) 若 A = (aij)m×n, B = (bij)m×n是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)则称A与B相等，记作A＝B4) 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。

二、矩阵的运算,设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n,则矩阵 C = ( cij ) m×n= ( aij + bij ) m×n,称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B,1. 矩阵的加法,(1) 定义,设 A，B，C，O 都是 m×n 矩阵,(1) A + B = B + A,(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ),(3) A + O = O + A = A,(2) 性质,2. 矩阵的减法,(1) 负矩阵,设 A = ( aij ) m×n , 则称,( －aij ) m×n 为A的负矩阵，简记－A,显然,A+ (－A)= O ,,－(－A) = A,(2) 减法：,设 A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n,A－B = A + (－B ) = ( aij－ bij ) m×n,记为 A，即,设是常数， A = ( aij ) m×n ，,3.数与矩阵的乘法,(1) 定义,设 A、B 为 m × n 矩阵，、u为常数,(1) (  u ) A =  ( u A) = u (  A );,(2)  ( A + B ) =  A +  B,(3) (  + u ) A =  A + u A,(2) 性质,例3：,设,求A－2B,解：,设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n ,,其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和,( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n),4. 矩阵的乘法,(1) 定义,例4： 设矩阵,求乘积 AB 和 BA,解：,注：AB  BA 即矩阵乘法不满足交换律,例 5： 设,试证： (1) AB = 0 ； (2) AC = AD,证：,(1),(2),故 AC ＝ AD,比较：,(1) 在数的乘法中，若ab = 0  a = 0 或 b = 0,两个非零矩阵乘积可能为O。

2) 在数的乘法中，若ac = ad，且a  0  c = d (消去律成立),在矩阵乘法中，若AC = AD，且A  O C = D (消去律不成立),,(1) ( A B ) C = A ( B C ),(2) A (B + C ) = A B + A C,(3) ( B + C ) A = B A + C A,(4)  ( A B ) = (  A ) B = A (  B ) (其中  为常数),(2) 性质,5. 线性方程组的矩阵表示,设方程组为,,可表示为,简记为,AX＝BA称为由线性方程组的系数矩阵将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列， 列换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A'例如：,则,6. 矩阵的转置,(1) 定义,(1) ( AT ) T = A,(2) ( A + B ) T = A T + B T,(3) (  A ) T ＝  A T,(2) 性质,例6：,设,求 ( A B ) T解法一：,( A B ) T = B T A T,解法二：,三、方阵,1.定义,则：,(其中：k, l均为正整数),行数与列数相同的 n × n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An 。

称为n阶单位矩阵，简记E,显然,1. 单位矩阵,2.几类特殊方阵,2. 对角矩阵,结论：,(2) k为正整数时,3. 上三角矩阵,下三角矩阵,4. 对称矩阵,(1) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵2) 若方阵A满足 AT = －A，即 aji = －aij，则称A为反对称矩阵这时 aii = 0 ( i = 1, 2, … n),例7： 设A为任一方阵，证明 : A+AT为对称阵， A－AT 为反对称阵,(1) 方阵 A 对应的行列式记为 |A |或 det A,若 |A|  0，则称方阵 A 是非奇异(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的3、比较方阵与行列式,(2) |  A | =  n | A |,(3) | A B | = | A | | B |,(3) | A B | = | A | | B |,例如：,有,而,(4) | A m | = | A | m,| A 1 A 2 … A m | = | A 1| | A 2 | … | A m |,推广：,四、分块矩阵,如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。

1. 定义,例如：,,,,,,,,,,A11,A12,A21,A22,例8：设,利用分块矩阵求 A+B，AB解：将A、B分块成,,,,,则,而,而,,,故,,,考察： AT,对于,2. 分块矩阵的转置,注：设矩阵A = ( aij ) mn 分块为,则,若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵，,则称A为准对角矩阵3. 准对角矩阵,定义：,例如：,为准对角矩阵准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质,例如：,( Ai 为方阵， i = 1,2,…，m),§2 矩阵的初等变换,一、矩阵的初等变换,定义 1,对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换,(1) 互换两行 ( 记作 ri  rj );,(2) 以数   0 乘以某一行 ( 记作  × ri );,(3) 将第 j 行各元素乘以数后加到第 i 行的对应元素上去 (记作 ri +  rj ),相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c二、初等矩阵,定义2,由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵1) ri  rj,ci  cj 也得到 P (i, j),(2)  × ri, × ci 也得到 P ( i ()),0,0,第 i 行,(3) ri +  rj,cj +  ci 也得到 P ( i, j ( ) ),定理1,对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵；,对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵；,例如：,设A是一个 m × n 矩阵,(1),A,P(1, 2) A,(2),A,A P(3, 4),三、矩阵的秩,1. k 阶子式,定义3,设 A 为 m×n 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列 (1  k  min (m, n))，由这 k 行，k 列的交叉处的 k2 个元素(按原来的前后顺序)所构成的 k 阶行列式，称为矩阵A的一个 k 阶子式。

例如：,一个2阶子式,,,,,例如：,一个2阶子式,一个3阶子式,,,,,,,(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式,(2) 当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A |,注：,2. 矩阵的秩,r(A) = 3,定义4,矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r (A) 显然 r (A)  min (m, n) ),规定：,注：,(1) 非奇异矩阵A，有 | A |  0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵定理2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为0，而所有 k+1 阶子式全为0，则 r ( A ) = k零矩阵的秩为0，即 r (O) = 0,3. 初等变换求矩阵的秩,定理4.3 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变,例：,,阶梯形,r ( A ) = 3,A,进一步：,A,,称为A的标准形,注：若A为n阶满秩方阵，则A的标准形为n阶单位阵E§3 逆 矩 阵,一、逆矩阵的定义,定义1,AB = BA = E,则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B,使,显然A 为B 的逆矩阵，即 A 与B 互为逆矩阵。

例如：,有,所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵例1 设 a11 a22 … ann  0,,由于：,例2 若方阵 A1 A2 … Am 均可逆，可证,定理1 (唯一性),若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A－1 表示,证：设B、C均是A的逆矩阵，则,B,所以A的逆矩阵唯一 BE,= B(AC),= (BA)C,= EC,= C,矩阵,称为 A 的伴随矩阵,定义2:,设 A = (aij)n×n , Aij 是 |A | 中元素 aij 的代数余子式 ( i, j = 1, 2, …, n );,二、矩阵可逆的条件,即：,定理2,方阵 A 存在逆矩阵,|A |,且,例3 求矩阵,的逆矩阵,解：,故 A 可逆，又,A11＝5， A12＝－2，A21＝－2，A22＝1,则,所以,,,比较：,(1) 在数的乘法中，若ab = 0  a = 0 或 b = 0,两个非零矩阵乘积可能为O2) 在数的乘法中，若ac = ad，且a  0  c = d (消去律成立),在矩阵乘法中，若AC = AD，且A  O  C = D (消去律不成立),,例4 设 A 是可逆阵，证明：,(1) 若 A X = A Y  X = Y,(2) 若 A B = 0  B = 0,证：,A－1 ( A X ) = A－1 ( A Y ),( A－1 A ) X = ( A－1 A ) Y,EX = EY,X = Y,所以,(2),由 AB =0，有A－1 (AB) = A－1 0,所以 B =0,( A－1 A ) B = 0,(1) 若A，B均为n阶方阵，且 A B = E (或 B A =E )，则 B＝A－1,证：, |A| |B| = |E| = 1, |A|  0,A－1存在，且A－1 = A－1E = A－1(AB),= (A－1A) B,= EB,= B,设 A B = E,同理可证 B A =E 的情形,三、逆矩阵的性质,(2) ( A－1 )－1 = A,(4) 若A，B 均为n阶可逆矩阵，则 (AB)－1 = B－1A－1。

若A1，A2，…，Am均为n阶可逆矩阵，则 ( A1 A2 … Am)－1 = Am－1 … A2－1 A1－1,推广：,证明：,因为 (AB)(B－1A－1),= A E A－1,= E,所以 (AB)－1 = B－1A－1,= A ( B B－1 ) A－1,这是因为 | A－1 | | A | = | E | = 1,四、初等行变换求逆矩阵 (方法二),1. 初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然。