高一数学人教A版必修一学案 2.1.2　指数函数及其性质（高考）.doc

2.1.2　指数函数及其性质1．指数函数的概念(1)定义：一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．(2)指数函数的特征：特征例如函数y＝－3×4x和y＝x4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数．其中函数y＝kax(kR，且k≠0，a＞0，且a≠1)称为指数型函数．释疑点 指数函数的概念中为什么要规定a＞0，且a≠1?(1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．(2)若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，这时对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a＝1，则对于任何xR，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．在规定以后，对于任何xR，ax都有意义，且ax＞0．【例1－1】函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　)A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1解析：由指数函数定义知所以解得a＝3．答案：C【例1－2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝；④y＝xx；⑤y＝；⑥y＝．解析：序号是否理由①否()x的系数不是1②否2x－1的指数不是自变量x③是满足指数函数的概念④否底数是x，不是常数⑤否指数不是自变量x⑥否底数不是常数且指数不是自变量x答案：③2．指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与性质对应关系如下：图象特征函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质①图象都位于x轴上方①自变量x取任何实数时，都有ax＞0②函数图象都过定点(0,1)②无论底数a取任何正数，都有a0＝1③当a＞1时，图象在第一象限内纵坐标都大于1；在第二象限内纵坐标都大于0小于1．而当0＜a＜1时图象正好相反．③a＞1时，当0＜a＜1时，④自左向右看，a＞1时图象呈上升趋势；当0＜a＜1时，图象呈下降趋势．④当a＞1时，y＝ax是增函数；当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．(2)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质．a＞10＜a＜1图象性质①定义域R，值域(0，＋∞)②图象都过点(0,1)③当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1③当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1④在R上是增函数④在R上是减函数对称性指数函数y＝ax和y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称点技巧 指数函数性质记忆口诀指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点．【例2－1】函数y＝(－1)x在R上是(　　)A．增函数 B．奇函数C．偶函数 D．减函数解析：由于0＜－1＜1，所以函数y＝(－1)x在R上是减函数．因为f(－1)＝(－1)－1＝， f(1)＝－1，则f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数y＝(－1)x不具有奇偶性．答案：D【例2－2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c解析：(方法一)在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有b＜a．在③④中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有d＜c．故选B．(方法二)设x＝1与①②③④的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b．故选B．答案：B析规律 底数的变化对函数图象的影响　当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x＞0时，底大图象高．3．指数型函数模型(1)指数增长模型设原有值为N，平均增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(xN)．(2)指数减少模型设原有值为N，平均减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(xN)．(3)指数型函数形如y＝k·ax(kR，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数．【例3】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式．解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg．1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%) kg，人口数量为M(1＋1.2%)，则人均一年占有粮食为kg，2年后，人均一年占有粮食为kg，……x年后，人均一年占有粮食为y＝kg，即所求函数解析式为(xN*)．点技巧 指数增长模型的计算公式　在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示．这是非常有用的函数模型．4．利用待定系数法求指数函数的解析式已知函数模型求函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得出函数的解析式．在指数函数的概念中，只有形如y＝ax(a＞0，且a≠1)的函数才是指数函数，除此之外的函数都不是指数函数，所以设指数函数的解析式时，只能设成y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式，而不是其他形式．同时，指数函数的解析式中只含有一个常数a，由此只需一个条件就可确定指数函数的解析式．例如：若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)．解：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，因为函数f(x)的图象经过点(2,9)，代入可得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．故f(x)＝3x．【例4－1】指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，e)，则f(－π)＝__________．解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，∵y＝f(x)的图象过点(π，e)，∴aπ＝e．∴a＝．∴f(x)＝()x．∴f(－π)＝()－π＝e－1＝．答案：【例4－2】已知指数函数f(x)的图象经过点，试求f(－1)和f(3)．分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法求出．解：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，∵函数f(x)的图象经过点，∴a－2＝，解得a＝±4．又a＞0，则a＝4，∴f(x)＝4x．∴f(－1)＝4－1＝，f(3)＝43＝64．点技巧 关于a的方程am＝n的解法　方法一：可以先把n化为以m为指数的指数幂的形式n＝km，即am＝km，则可得a＝k．方法二：由am＝n得到，即，再利用指数幂的运算性质化简．5．与指数函数有关的定义域、值域问题指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数结合构成指数型复合函数．与指数函数有关的复合函数的定义域和值域的求法如下：(1)求定义域的方法①函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的定义域与函数y＝f(x)的定义域相同．②函数y＝f(ax)的定义域与函数y＝f(x)的定义域不一定相同．例如，函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，而函数f(x)＝的定义域则为R．求函数y＝f(ax)的定义域时，可由函数f(x)的定义域与g(x)＝ax的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解．(2)求值域的方法①求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域时，先求函数y＝f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数y＝af(x)的值域．②求函数y＝f(ax)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围．【例5－1】求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)．解：(1)∵由1－2x≥0可得2x≤1，∴x≤0．∴函数的定义域为x(－∞，0]．由0＜2x≤1可得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1．∴函数的值域为y[0,1)．(2)定义域为R．∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴≤＝16．又∵＞0，∴函数的值域为(0,16]．【例5－2】求下列函数的值域：(1)；(2)．解：(1)∵≠0，∴≠1．∴函数y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}．(2)，∵2x＞0，∴2x＋1＞1．∴0＜＜1，－2＜－＜0．∴－1＜1－＜1．故函数的值域为{y|－1＜y＜1}．6．指数函数的图象及定点问题(1)与指数函数有关的函数图象过定点的问题指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)过定点(0,1)，即对任意的a＞0，且a≠1，都有a0＝1．这是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键．一般地，对于函数y＝kaf(x)＋b(k≠0)，可令f(x)＝0，解方程得x＝m，则该函数的图象恒过定点(m，k＋b)．方程f(x)＝0解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数．(2)指数函数的图象变换的问题根据函数图象的变换规律，有以下结论：①函数y＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象，可由指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象向左(b＞0)或向右(b＜0)平移|b|个单位长度而得到；②函数y＝ax＋b的图象，可由指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位长度而得到；③函数y＝a－x的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称；函数y＝－ax的图象与函数y＝ax的图象关于x轴对称；函数y＝－a－x的图象与函数y＝ax的图象关于原点轴对称；函数y＝a|x|的图象，关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象相同；当x＜0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．【例6－1】若函数f(x)＝2ax－1＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．解析：令x－1＝0，解得x＝1，所以f(1)＝5．所以函数f(x)＝2ax－1＋3的图象恒过定点(1,5)．答案：(1,5)【例6－2】(1)为了得到函数y＝3×的图象，可以把函数y＝的图象(　　)A．向左平移3个单位长度　　　B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度(2)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0(3)方程2|x|＋x＝2的实根的个数为__________．解析：(1)本题考查函数图象的平移．y＝3·＝，则只需把函数y＝的图象向右平移1个单位长度．故选D．(2)本题考查函数图象的性质．函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b－1＜－1b＜0．故选C．。