角平分线的性质经典例题透析（精选）.docx

经典例题透析类型一：角平分线性质的应用1、如图，△ ABC 中∠ C=90， AD 平分∠ BAC ，点 D 在 BC 上，且 BC=24 ， CD:DB=3:5求： D 到 AB 的距离思路点拨 :点到直线的距离是经过该点做直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度解析： 过 D 作 DE ⊥ AB 于 E∵ AD 平分∠ BAC ， DE⊥ AB ， DC ⊥AC∴ DE=CD∵ BC=24 ，CD:DB=3:5∴ CD=24 =9＝ DE即点 D 到 AB 的距离是 9总结升华： 角平分线上的点到角两边的距离相等举一反三：【变式】如图，∠ ACB=90 ,BD 平分∠ ABC 交 AC 于 D， DE ⊥ AB 于 E， ED 的延长线交 BC 的延长线于 F.求证： AE=CF【答案】∵ BD 平分∠ ABC ， DE ⊥ AB,DC ⊥BF∴ DE=DC在△ ADE 和△ FCD 中∴△ ADE △ FCD(ASA)∴ AE=CF类型二：角平分线的判定2、已知，如图， CE⊥ AB,BD ⊥AC, ∠ B= ∠ C，BF=CF 求证： AF 为∠ BAC 的平分线思路点拨： 由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。

解析： ∵CE⊥ AB,BD ⊥ AC （已知）∴∠ CDF= ∠ BEF=90 ∵∠ DFC= ∠ BFE( 对顶角相等 ) BF=CF( 已知 )∴△ DFC≌△ EFB(AAS)∴ DF=EF( 全等三角形对应边相等 )∵ FE⊥ AB,FD ⊥ AC （已知）∴点 F 在∠ BAC 的平分线上 (到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即 AF 为∠ BAC 的平分线总结升华： 应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了 “垂直”的条件如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性举一反三：【变式】如图，已知 AB=AC,AD=AE,DB 与 CE 相交于 O(1) 若 DB ⊥ AC,CE ⊥AB,D,E 为垂足，试判断点 O 的位置及 OE 与 OD 的大小关系，并证明你的结论2) 若 D， E 不是垂足，是否有着同样的结论？并证明你的结论答案】（ 1）∵ AB=AC,AD=AE∴ BE=CD∵ DB ⊥ AC,CE ⊥ AB,∴∠ BEO= ∠ CDO=90 在△ BEO 和△ CDO 中∴△ BEO △ CDO∴ EO=DO∵ EO⊥ AB,DO ⊥ AC∴点 O 在∠ A 的平分线上（ 2）点 D,E 不是垂足时， （ 1）的结论仍然成立，连接 AO在△ ABD 和△ ACE 中∴△ ABD △ ACE∴∠ B=∠ C∵ AB=AC,AD=AE∴ EB=CD在△ BEO 和△ CDO 中∴△ BEO △ CDO∴ EO=DO在△ AEO 和△ ADO 中∴△ AEO △ ADO∴∠ EAO= ∠ DAO∴ O 点在∠ A 的角平分线上类型三、角平分线的综合应用3、已知： BE 是∠ ABC 的平分线， AD ⊥ BE 求证：∠ BAD= ∠ DAC+ ∠ C思路点拨 :证明一个角等于另外两个角的和的问题，一般有两种途径： 1.将两个角转化为一个角，再证等角。

2.在和角中做一个角，使它与这两个角中的一个相等，再整余下的部分等于另一个角解析： 过 C 做 CF⊥ BE ，交 BE 的延长线于 F∵ AD ⊥ BE ，CF⊥ BE∴ AD//CF∴∠ DAC= ∠ FCA即∠ FCB= ∠ACB+ ∠DAC在 Rt△ BCF 中 ∠ FCB=90 -∠ EBC在 Rt△ ABD 中 ∠ BAD=90 -∠ ABE∵ BE 平分∠ ABC∴∠ ABE= ∠ EBC∴∠ FCB= ∠BAD= ∠ DAC+ ∠ C总结升华： 添加辅助线时，要能充分利用已知条件举一反三：【变式】在四边形 ABCD 中， BC＞ BA ， AD ＝CD ， BD 平分∠ ABC 求证：∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０【答案】过Ｄ做 AB 、 BC 所在直线的垂线，垂足分别是 E、 F∵ BD 平分∠ ABC∴ DE=DF又∵ AD=CD∴△ AED △ CDF（ HL ）∴∠ C=∠ DAE又 ∵∠ BAD+ ∠DAE=180 ∴∠ C+∠ BAD=180 。