2024历年高考数学试题汇编：概率.pdf

历年高考数学真题精编1 9概率一、单选题1.（2022全国）从 2 至 8 的 7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为（）A.-B.-C.1 D.-6 3 2 32.（2022全国）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为“，必，必，且3 2 为.记该棋手连胜两盘的概率为P，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大3.（2023全国）某学校举办作文比赛，共 6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.-B.-C.1 D.-6 3 2 34.（2023全国）某校文艺部有4 名学生，其中高一、高二年级各2 名.从 这 4 名学生中随机选2 名组织校文艺汇演，则这2 名学生来自不同年级的概率为（）A.-B.-C.1 D.-6 3 2 35.（2022 全国）从分别写有1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（）6.（2021.全国）将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）7.（2021.全国）将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.88.（2019全国）生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只，则恰有2 只测量过该指标的概率为9.（2018全国）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+2 3.在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是A.B.C.D.12 14 15 1810.（2020 全国）设。

为正方形ABC的中心，在A,B,C,中任取3 点，则取到的3 点共线的概率为（）B.2D.47二、多选题11.（2023 全国）在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送时，收 到 1 的概率为a（0 a l）,收到o 的概率为1_发 送 1 时，收到0 的概率为（0 1）,收 到 1的概率为1-6.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3 次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1,则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1 的概率为（1-1-02B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1 的概率为尸（1-A）?C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1 的概率为4（1-）2+（1_03D.当0 0（i=l,2,=1,定义 X 的信息燧H（X）=-之 pjog2A.（）A.若=1,则 H(X)=0B.若 w=2,则 H（X）随着Pi的增大而增大C.若口=工（7 =1,2,.,），则 （X）随着w的增大而增大nD.若=2Z,随机变量y 所有可能的取值为1,2,相，且 P（y=/）=P/+P2,“+1（/=1，2,-,rn）,则 H（x）H（y）三、填空题13.（2022 全国）从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为.14.（2022全国）从正方体的8 个顶点中任选4 个,则这4 个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为.15.（2023天津）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6.且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球，则 三 个 球 都 是 黑 球 的 概 率 为;若把所有球放在一起，随机摸出一球，则 该 球 是 白 球 的 概 率 为.16.（2022浙江）现有7 张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7 张卡片中随机抽取3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为贝|尸 =2）=,E（J）=.17.（2022全国）已知随机变量X服从正态分布N（2,）,且尸（2 2.5）=.18.（2019全国）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.四、解答题19.（2023全国）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.求第2 次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xj服从两点分布,且P（X,=1）=1-尸（X j=0）=g,i=l,2，则i=i=记前次（即从第I 次到第次投篮）中甲投篮的次数为y,求 E（y）.Z=120.（2022全国）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人（称为对照组），得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的 人 患 有 该 疾 病 与 甯 的 比 值 是 卫 生 习 惯 不 够 良 好 对 患 该 疾 病 风 险 程 度 的一项度量指标，记该指标为R/.、F 口 R 尸（A5）P（AB）（1 ）证明：R=二-；（i i）利用该调查数据，给出尸（A|8）,P（A|月）的估计值，并 利 用（i）的结果给出R 的估计值.n(ad-bc)2(Q+b)(c+d)(+c)(Z 7 +d)附K?=P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821.（2022全国）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：频率w（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70）的概率；已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间 40,50）的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 40,50）,求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确至 U o.oooi）.22.（2021全国）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A,8 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束4 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得。

分；8 类问题中的每个问题回答正确得 80分，否则得分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B 类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.23.（2022 全国）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望.24.（2021.全国）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第代，经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X表 示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p,=0,l,2,3).(1)已知A,=0.4,A=0.3,02=0.2,03=0.1,求 E(X)；(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：Po+PX+PzX?+03彳 3 =x 的一个最小正实根，求证：当E(X)g i时,p=l,当召(X)1时,(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.25.(2022全国)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和 8 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K，k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.63526.(2020全国)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A,B,C,。

四个等级.加工业务约定：对于4 级品、8 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频频数数 4 40 0 2 20 0 2 20 0 2 20 0（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？参考答案:1.D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=2 1种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2 ,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，故 所 求 概 率 尸2=1?-一7 =2.2 1 3故选：D.2.D【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率P甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率。

乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率P 丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为1,则此时连胜两盘的概率为P甲贝I P甲=g（1 -+P2Pl（1 一3）+；（1 -P j P R +PiP（1-0）=Pl（P/P3）-2 PIP2P3 ;记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P乙，贝IP乙=（1 -A）必3 +（1 一 科）=必（R+）-2Plp2P3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P 再则 P丙=（1 -Pl）P3P2+P 1 0 3 （1 -+P?）-2 P l p2 P 3则为一乙=0（3）-2 P 0 2 0 3 T p2（月+3）-2 月2 P 3 =（月一必）3）-2月3（0 1 +2）2 0 13 =（2 -p3）M 0即P甲P乙,P乙 。