(精校版)2019年江苏卷数学高考真题及答案.pdf

绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题， 共 20 题)本卷满分为160 分，考试时间为120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗参考公式：样本数据12,nxxx的方差2211niisxxn，其中11niixxn柱体的体积 VSh，其中 S是柱体的底面积，h 是柱体的高锥体的体积13VSh，其中 S是锥体的底面积，h 是锥体的高一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 1,0,1,6A，|0,Bx xxR，则AB.2已知复数(2i)(1i)a的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a 的值是.3下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.4函数276yxx的定义域是.5已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.6从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率是.7在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yxbb经过点（ 3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.8已知数列*()nanN是等差数列，nS是其前 n 项和 .若25890,27a aaS，则8S的值是.9如图，长方体1111ABCDA B C D的体积是120，E 为1CC的中点，则三棱锥E- BCD 的体积是.10在平面直角坐标系xOy中， P 是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P 到直线x+y=0 的距离的最小值是.11在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（- e，- 1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是.12 如图，在ABC中， D 是 BC 的中点，E在边 AB 上， BE=2EA， AD 与 CE 交于点O.若6AB ACAO EC，则ABAC的值是.13已知tan23tan4，则sin24的值是.14设( ),( )f xg x是定义在 R 上的两个周期函数，( )f x的周期为4，( )g x的周期为2，且( )f x是奇函数 .当2(0,x时，2( )1(1)fxx，(2),01( )1,122k xxg xx，其中k0.若在区间 (0，9上，关于 x 的方程( )( )f xg x有 8 个不同的实数根，则k 的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c（1）若 a=3c，b=2，cosB=23，求 c 的值；（2）若sincos2ABab，求sin()2B的值16（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， D，E 分别为 BC， AC 的中点， AB=BC求证：（ 1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E17（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:22221(0)xyabab的焦点为F1（ 1、0），F2（1， 0）过 F2作 x 轴的垂线l，在 x 轴的上方， l 与圆 F2:222(1)4xya交于点 A，与椭圆C交于点 D.连结 AF1并延长交圆F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1=52（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标18（本小题满分16 分）如图， 一个湖的边界是圆心为O 的圆， 湖的一侧有一条直线型公路l， 湖上有桥 AB （AB 是圆 O 的直径） 规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求：线段PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆O 的半径已知点A、B 到直线 l 的距离分别为AC 和 BD（C、D 为垂足），测得 AB=10， AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路PB 与桥 AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离19（本小题满分16 分）设函数( )()()(), , ,f xxaxb xca b cR、( )f x 为 f（x）的导函数（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若 ab，b=c，且 f（x）和( )f x 的零点均在集合3,1,3中，求 f（x）的极小值；（3）若0,01,1abc，且 f（x）的极大值为M，求证 :M42720（本小满分16 分）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M数列” . （1）已知等比数列an*()nN满足：245321,440a aa aaa，求证：数列 an为“M数列” ；（2）已知数列 bn*()nN满足：111221,nnnbSbb，其中 Sn为数列 bn的前 n 项和求数列 bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M数列” cn*()nN，对任意正整数k，当 km 时，都有1kkkcbc成立，求m 的最大值2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5分，共计 70分 . 1.1,62.2 3.5 4.1,75.536.7107.2yx8.16 9.10 10.4 11.(e, 1)12.313.21014.12,34二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分 14分. 解： （ 1）因为23 ,2,cos3ac bB，由余弦定理222cos2acbBac，得2222(3 )(2)323cccc，即213c. 所以33c. （2）因为sincos2ABab，由正弦定理sinsinabAB，得cossin2BBbb，所以cos2sinBB. 从而22cos(2sin)BB，即22cos4 1cosBB，故24cos5B. 因为sin0B，所以cos2sin0BB，从而2 5cos5B. 因此2 5sincos25BB. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力 .满分 14 分.证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ABA1B1，所以 A1B1ED.又因为 ED? 平面 DEC1，A1B1平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1.（2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面 ABC.又因为 BE? 平面 ABC，所以 CC1BE.因为 C1C? 平面 A1ACC1，AC? 平面 A1ACC1，C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E? 平面 A1ACC1，所以 BEC1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分.解： （ 1）设椭圆C 的焦距为2c.因为 F1(- 1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2， c=1.又因为 DF1=52，AF2x 轴，所以DF2=222211253()222DFF F，因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2.由 b2=a2- c2，得 b2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143xy.（2）解法一：由（ 1）知，椭圆C：22143xy，a=2，因为 AF2x 轴，所以点A 的横坐标为1.将 x=1 代入圆 F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=4.因为点 A 在 x 轴上方，所以A(1， 4).又 F1(- 1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由22()22116yxxy，得256110 xx，解得1x或115x.将115x代入22yx，得125y，因此1112(,)55B.又 F2(1，0)，所以直线BF2：3(1)4yx.由221433(1)4xyxy，得276130 xx，解得1x或137x.又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以1x.将1x代入3(1)4yx，得32y.因此3( 1,)2E.解法二：由（ 1）知，椭圆C：22143xy.如图，连结EF1.因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而 BF1E=B.因为 F2A=F2B，所以 A= B，所以 A= BF1E，从而 EF1F2A.因为 AF2x 轴，所以EF1x 轴.因为 F1(- 1，0)，由221431xxy，得32y.又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以32y.因此3( 1,)2E.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 16分. 解：解法一：（1）过 A作AEBD，垂足为 E. 由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DEBEACAECD. 因为 PBAB，所以84cossin105PBDABE. 所以12154cos5BDPBPBD. 因此道路 PB的长为 15（百米） . （2）若 P在D处，由（ 1）可得 E在圆上， 则线段 BE上的点 （除 B，E）到点 O的距离均小于圆O的半径，所以 P选在 D处不满足规划要求. 若 Q在D处，连结 AD，由（ 1）知2210ADAEED，从而2227cos0225ADABBDBADADAB，所以 BAD 为锐角 . 所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 . 因此， Q选在 D处也不满足规划要求. 综上， P和Q均不能选在 D处. （3）先讨论点 P的位置 . 当 OBP90 时，在1PPB中，115PBPB. 由上可知， d15.再讨论点 Q的位置 . 由 （ 2） 知 ， 要 使 得 QA15 ， 点 Q 只 有 位 于 点 C 的 右 侧 ， 才 能 符 合 规 划 要 求 .当 QA=15 时 ，22221563 21CAAC.此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于圆O的半径 . 综 上 ， 当 PB AB ， 点 Q 位 于 点 C 右 侧 ， 且 CQ=3 21时 ， d 最 小 ， 此 时 P， Q 两 点 间 的 距 离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21. 因此， d最小时， P，Q两点间的距离为17+3 21（百米） . 解法二：（1）如图，过 O作OHl，垂足为 H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系. 因为 BD=12，AC=6，所以 OH=9，直线 l的方程为 y=9，点 A，B的纵坐标分别为3，- 3. 因为 AB为圆 O的直径， AB=10，所以圆 O的方程为 x2+y2=25. 从而 A（4，3）， B（ - 4，- 3），直线 AB的斜率为34. 因为 PBAB，所以直线 PB的斜率为43，直线 PB的方程为42533yx. 所以 P（- 13，9），22( 134)(93)15PB. 因此道路 PB的长为 15（百米） . （2）若 P在D处，取线段 BD上一点 E（- 4，0），则 EO=45，所以 P选在 D处不满足规划要求. 若 Q在D处，连结 AD，由（ 1）知 D（- 4，9），又 A（4，3），所以线段 AD：36( 44)。