数学：第十六章《勾股定理》复习教案（冀教版八年级上）.docx

第十六章 勾股定理的综合应用勾股定理及其逆定理是初中数学中的重要内容之一，它的应用极其广泛，现将常见的应用例析如下，供同学们参考一、利用勾股定理进行计算1．求面积例1：如图1，在等腰△ABC中，腰长AB=10cm，底BC=16cm，试求这个三角形面积析解：若能求出这个等腰三角形底边上的高，就可以求出这个三角形面积而由等腰三角形“三线合一”性质，可联想作底边上的高AD，此时D也为底边的中点，这样在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2=AB2－BD2=102－82=36，所以AD=6 cm，所以这个三角形面积为BCAD=166=48 cm22．求边长例2：如图2，在△ABC中，∠C=135，BC=，AC=2，试求AB的长析解：题中没有直角三角形，不能直接用勾股定理，可考虑过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D点，构成Rt△CBD和Rt△ABD在Rt△CBD中，因为∠ACB=135，所以∠BCB=45，所以BD=CD，由BC=，根据勾股定理得BD2+CD2=BC2，得BD=CD=1，所以AD= AC+ CD=3在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2= AD2+BD2=32+12=10，所以AB=。

点评：这两道题有一个共同的特征，都没有现成的直角三角形，都是通过添加适当的辅助线，巧妙构造直角三角形，借助勾股定理来解决问题的，这种解决问题的方法里蕴含着数学中很重要的转化思想，请同学们要留心二、利用勾股定理的逆定理判断直角三角形例3：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断△ABC的形状析解：由于所给条件是关于a，b，c的一个等式，要判断△ABC的形状，设法求出式中的a，b，c的值或找出它们之间的关系（相等与否）等，因此考虑利用因式分解将所给式子进行变形因为a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，所以a2－10a+ b2－24b+c2－26c+338=0，所以a2－10a+25+ b2－24b+144+ c2－26c+169=0，所以(a－5)2+ (b－12)2+ (c－13)2=0因为(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0，所以a－5=0，b－12=0，c－13=0，即a=5，b=12，c=13因为52+122=132，所以a2+ b2= c2，即△ABC是直角三角形点评：用代数方法来研究几何问题是勾股定理的逆定理的“数形结合思想”的重要体现。

三、利用勾股定理说明线段平方和、差之间的关系例4：如图3，在△ABC中，∠C=90，D是AC的中点，DE⊥AB于E点，试说明：BC2=BE2－AE2析解：由于要说明的是线段平方差问题，故可考虑利用勾股定理，注意到∠C=∠BED=∠AED=90及CD=AD，可连结BD来解决因为∠C=90，所以BD2=BC2+CD2又DE⊥AB，所以∠BED=∠AED=90，在Rt△BED中，有BD2=BE2+DE2在Rt△AED中，有AD2= DE2+AE2又D是AC的中点，所以AD=CD故BC2+CD2= BC2+ A D2= BC2+ DE2+AE2= BE2+ DE2，所以BE2= BC2+ AE2，所以BC2=BE2－AE2点评：若所给题目的已知或结论中含有线段的平方和或平方差关系时，则可考虑构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题。