高一数学人教A版必修1优化训练：1.1.1集合的含义与表示.pdf

第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 5 分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1下列给出的对象中，能表示集合的是() A一切很大的数B无限接近于0 的数 C美丽的小女孩D方程 x 210 的实数根 2下面说法中正确的个数是() 集合 N * 中最小的数是1； 若 * Na，则 aN *； 若 aN *，bN*，则 ab 的最小值是 2； x24 4x 的解集是由 “2,2 ”组成的集合 A0 B1 C2 D3 3已知集合S中的三个元素是ABC 的三边长，那么ABC 一定不是 () A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 4已知集合A 是由 0，m，m 23m2 三个元素组成的集合，且 2A，则实数m 的值 为() A2 B3 C0 或 3 D0,2,3 均可 10 分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法 表示出来 . (1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点； (2)高一数学课本中所有的难题； (3)方程 x 4+x2+2=0 的实数根； (4)图中阴影部分的点(含边界上的点). 思路解析： 根据集合中元素的特点解答，只要对象是确定的，看作一个整体，便形成一个集 合，否则，不然. 解： (1)是无限集合 .其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数. 可用两种方法表示这个集合： 描述法： (x,y)y-x； 图示法：如图中直线l 上的点 . (2)不是集合 .难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”. 因而这些难题不能构成集合. (3)是空集 .其中元素是实数，这些实数应是方程x 4+x2+2=0 的根，这个方程没有实数根，它 的解集是空集 .可用描述法表示为：或者 xRx 4+x2+2=0. (4)是无限集合 .其中元素是点，这些点必须落在题图的阴影部分(包括边界上的点). 题图本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合： (x,y) -1x 2，- 2 5 y2，且 xy0. 2.下面有四个命题：集合N 中的最小元素为1；方程（ x-1） 3（x+2）（ x-5）=0 的解集 含有 3 个元素；0； 满足 1xx 的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 思路解析： 集合 N 表示自然数集，最小的自然数是0，故不对； 据集合中元素的互异性知 方程（ x1） 3 （ x+2）（ x5）=0 有 3 个不同的解1、 2、5，所以对；空集不含有任何 元素，故错，容易误以为0.若认为0，表明了空集中有一个元素0.而事实上空 集中不含有任何元素， 当然也就不会有元素0 了.1x x 表示 x 可以为任意实数， 因此对， 故选 C. 答案： C 3.（1）实数 a、b 满足关系 _时，集合A=x|ax+b=0 是有限集； （2）a、b 满足关系 _时，集合A=x|ax+b=0 为无限集； （3）a、b 满足关系 _时，集合A=x|ax+b=0 为空集 . 思路解析： （1）集合 A=x|ax+b=0 是有限集，即方程ax+b=0 有有限个解，即x=- a b 存在 . 因此 a 0，bR. （2）集合 A=x|ax+b=0 是无限集，即方程ax+b=0 有无数多个解 .a=b=0. （3）集合 A=x|ax+b=0 为空集，即方程ax+b=0 无解 . a=0，b0. 答案： (1)a0，bR(2)a=b=0 (3)a=0，b 0 4.下面有五个命题： 若 -aN， 则 aN； 若 aN， bN， 则 a+b 的最小值是0； x 2+4=4x 的解集可表示为2，2 ；高一（ 6）班个子较高的学生可构成一个集合.其中正确命题的序 号是 _. 思路解析： N 是自然数集，-aN，则 aN 不正确； x 2+4=4x 的解集为 2 ，单元素集；个子较高的学生是不确定的 .只有正确 . 答案： 5.设 A=4,a,B=2,ab,若 A=B, 则 a+b=_. 思路解析： 两个集合相等， 则两集合的元素完全相同，则有 a=2,ab=4,将 a=2 代入 ab=4,得 b=2. a+b=4. 答案： 4 人 6.已知集合A= px 2+2(p-1)x+1=0,x R，求一次函数 y=2x-1 ，xA 的取值范围 . 思路解析： 关键是理解集合A 中元素的属性.p 的取值范围必须满足关于x 的一元二次方程 x 2+2(p-1)x+1=0 有实数根 . 解： 由已知， 4(p-1)2-40，得 p2 或 p0.所以 A pp2 或 p0.因为 xA， 所以 x 2或 x 0.所以 2x-13 或 2x-1-1.所以 y 的取值范围是yy-1 或 y3. 快乐时光 道破天机 父亲心血来潮，测试儿子：“宝贝，你晓得什么话能一语道破天机吗？” “爸爸，”儿子很快回答：“天气预报!” 30 分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.下面六种表示法：x=-1，y=2; (x,y) x=-1,y=2 ; -1，2;(-1，2); (-1， 2); (x,y)x=-1 或 y=2，能正确表示方程组 03 ,02 yx yx 的解集的是 ( ) A.B. C.D. 思路解析一 （直接法） :由于此方程组的解是 , 2 , 1 y x ，因而写成集合时，应表示成一对有 序实数 (-1，2). 因为 (x,y) 03 02 yx yx (x,y) 2 1 y x (-1，2)，故选C. 思路解析二（排除法）：集合既非列举法，又非描述法.集合表示由 -1 和 2 两个数组成 的集合 .是一个点 .中的元素是(-1， y)或(x,2)， x、y R 是一个无限集.以上均不合题意. 故选 C. 答案： C 2.已知 x、y、z 为非零实数，代数式 xyz xyz z z y y x x| | 的值所组成的集合是M，则下 列判断正确的是( ) A.0M B.2M C.-4M D.4M 思路解析： 分 4 种情况讨论： x、y、 z 中三个都为正，代数式值为4；x、y、 z 中两个为正， 一个为负，代数式值为0；x、 y、z 中一个为正，两个为负，值为0；x、 y、z 都为负数时， 代数式值为 -4.选 D. 答案： D 3.已知集合S=a，b，c中的三个元素可构成ABC 的三条边长，那么ABC 一定不是 ( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 思路解析： 由集合元素的互异性，知a、 b、c 各不相同 .选 D. 答案： D 4.已知 x1 ，2，x 2 ，则 x=_. 思路解析： 由集合的定义可建立方程求解. 答案： 0 或 2 5.已知 A=xx=a+b2，a、bZ，判断下列元素x 与集合 A 之间的关系： (1)x=0; (2)x= 32 1 ; (3)x=249. 思路解析： 研究元素与集合的关系，一要注意集合的表示方法(列举法或描述法)，二要准确 判断元素的属性. x 与 A 的关系只有xA 和 xA 两种 .判断 x 是不是 A 中的元素，即观察 x 能否写成a+b2(a、 bZ)的形式 . 解： (1)因为 0=0+02，所以 0A. (2)因为 x= 32 1 =23，无论a、 b 为何整数， a+b2=23不能成立，所以 x= 32 1 A. (3)因为 x= 2 )122(249=1+22，所以249 A. 6.已知 f(x)=x 2-ax+b(a、bR)，A=xf(x)-x=0,x R， B= xf(x)-ax=0,x R，若 A= 1，-3，试用列举法表示集合B. 思路解析： 集合 B 是方程 f(x)-ax=0 的解集；要求集合B，需设法求出a、b 的值，于是可通 过集合 A= 1，-3为突破口来寻找本题的解题途径. 解： f(x)-x=0 ，即 x 2-(a+1)x+b=0. A= 1,-3, 由韦达定理得 .) 3(1 , 1)3(1 b a .3 ,3 b a f(x)=x 2+3x-3. f(x)-ax=0 ，亦即 x 2+6x-3=0 ， B=xx2+6x-3=0 =-3-2 3,-3+23. 7.在任意两个正整数m、n 间定义某种运算(用表示运算符号 )：当 m、 n 都为正偶数或都 为正奇数时， mn=m+n ，如 46=4+6=10 ，37=3+7=10 ，当 m、n 中一个为正奇数，另 一个为正偶数时，mn=mn，如34=34=12，43=43=12.则在上述定义下，集合 M= (a,b)ab=36，a、 bN中的元素个数为_. 思路解析： 在充分理解题目中给出的新的定义的基础上，利用所学的知识求解. 分两类：当m、 n 都为正偶数或都为正奇数时： mn=m+n=36 ， m=1，n=35；m=2，n=34;m=3 ，n=33； m=35，n=1,集合M 共有 35 个元素 . 当 m、n 一个为正偶数，一个为正奇数时，mn=m n=36. 又 136=36，312=36,49=36， ,4 , 9 9 , 4 3 ,12 12 , 3 1 ,36 36 , 1 n m n m n m n m n m n m 或或或或或故 M 中有 6 个元素 .综上 M 中共有 6+35=41 个元素 . 答案： 41 8.若 1x|x 2+px+q=0 ， 2x|x2+px+q=0 ，求 p、 q 的值 . 思路解析： 首先注意集合的代表元素，然后看元素的特点.由已知两集合中的元素分别为一 元二次方程x 2+px+q=0 的解，最后利用方程解的定义或根与系数的关系求解 . 解： 方法一： 1x|x 2+px+q=0 ，2x|x2+px+q=0 ， 1，2 都是方程 x 2+px+q=0 的解， 即 1，2 都适合方程 .分别代入方程， 得 )2( ) 1( , 024 ,01 qp qp -得 3+p=0， p=-3. 代入，得q=-（p+1）=2. 故所求 p、q 的值分别为 -3，2. 方法二： 1x|x 2+px+q=0 ，2x|x2+px+q=0 ， 1 和 2 都是方程 x 2+px+q=0 的解 . 由根与系数的关系知 .21 ,21 q p p=-3，q=2. 故所求 p=-3，q=2. 9.求：（ 1）方程 x 2-4x+4=0 的所有根的和； （2）集合 S=x|x 2-4x+4=0 的所有元素的和 . 思路解析：本题极易忽略的一个问题是，方程根的个数与方程解集中元素的个数不一定相同， 由于方程x 2-4x+4=0 有两个重根 x1=x2=2，但其解集中却只有一个元素2，即 S=2 ，所以两 个问题有区别，应用了集合中元素的互异性. 解： （1）方程 x 2-4x+4=0 的所有根的和为 4. （2）由于集合S=x|x 2-4x+4=0=2 ， S 中所有元素之和为2. 10.设 S=x|x=m+n2，m、nZ. （1）若 aZ，则 a是否是集合S 中的元素？ （2）对 S中的任意两个x1、x2，则 x1+x2、x1x2是否属于S? 思路解析： 考查集合的元素满足的条件. 解： （1）a 是集合 S 的元素，因为a=a+02S. （2）不妨设x1=m+n 2，x2=p+q2，m、n、p、q Z. 则 x1+x2=（m+n 2）+（p+q2）=（m+n）+（p+q）2，m、n、p、qZ. x1+x2S，x1x2=（m+n 2）（ p+q2）=（mp+2nq）+（mq+np）2， m、n、p、 qZ. x1x2S.综上， x1+x2、x1x2都属于 S. 11.向 100 名学生调查对A、B 两件事的看法，得到如下结果：赞成A 的人数是全体的 5 3 ， 其余不赞成；赞成B 的人数比赞成A 的人数多3 人，其余不赞成；另外，对A、B 都不赞 成的人数比对A、B 都赞成的学生数的 3 1 多 1 人，问对 A、B 都赞成的学生数和对A、B 都 不赞成的学生数各有多少人? 思路解析： 数。