2021版高中数学必做黄金100题49 数列中的最值问题（原卷版）.docx

第49题 数列中的最值问题一．题源探究黄金母题已知等差数列的前项和为，求使得最大的序号的值．人教A版必修5P45例4．【母题评析】本题考查等差数列前项和的最值问题，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力．【思路方法】由等差数列前项和得和，再利用二次函数的相关知识求解．二．考场精彩真题回放【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【命题意图】这类题主要考查数列中项的最值问题、前项和的最值、求满足数列的特定条件的的最值、求满足条件的参数的最值等．【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．【学科素养】数学运算【难点中心】解答此类问题一般利用函数思想，结合函数与数列相关性质解题．三．理论基础解题原理考点一 等差数列的前n项和与函数的关系等差数列的前n项和公式为可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn．当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．考点二 等差数列前n项和的最值(1)若等差数列的首项，公差，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足．(2)若等差数列的首项，公差，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足．四．题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．考向1 数列中项的最值问题已知数列的通项公式为=，求的最大项．【温馨提醒】解法一是是利用基本不等式求解，解法二是通过确定满足的的值，从而找到最大项。

考向2 数列中前项和的最值问题已知数列是一个等差数列，且，．（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前项和的最大值．【温馨提醒】等差数列前n项和的最值问题一般有两种方法：（1）求出前n项和，利用二次函数求最值；（2）最大值就是求所有非负项的和，最小值就是求所以非正项的和考向3 求满足数列的特定条件的的最值设数列的前项和为，，且．若，则的最大值为（ ）A．51 B．52 C．53 D．54【温馨提醒】本题是道数列的综合题目，考查了数列的求和时的最值问题，需要注意这里的分类讨论，当为偶数、为奇数时运用等差数列求和，将和的表达式写出来，然后结合题意进行讨论．考向4 求满足条件的参数的最值已知为各项均为正数的数列的前项和，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的最大值．【技能方法】(1) 求解与参数有关的问题，一般是分离变量，再构造新函数求解．(2)使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．要注意由于数列中每一项均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．考向5 有关数列的其它最值问题已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则的最小值是________．【技能方法】表示出所求的式子，根据所得式子的特点，根据基本不等式或函数求最值。

五．限时训练*提升素养1.（2020湖南期中）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列，则取得最大值时n的值为（ ）A．4 B．5 C．4或5 D．5或62.（2020重庆）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则取最大值时，的值为（ ）A． B． C． D．或3.设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）A．6 B．7 C．8 D．134设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）A． B． C． D．5.（2020河北）已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为（ ）．A．4041 B．4039 C．2021 D．20206.已知等比数列的公比q，前n项的和，对任意的，恒成立，则公比q的取值范围是______．7.已知为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为________．8.已知数列的前项和为，且数列是首项为3，公差为2的等差数列，若，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为__________.9.（2020福建）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：设是数列的前n项和，且，______________，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．10.（2020江苏期中）已知数列的前项和为，已知， .①；②；③，，成等比数列；请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值并指明相应的值. 6 / 6。