高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课件 北师大版必修2.ppt

 对直线方程的两点式和截距式的理解及认识对直线方程的两点式和截距式的理解及认识(1)(1)直线的两点式体现了两点确定一条直线的思想直线的两点式体现了两点确定一条直线的思想, ,其形式其形式为为 体现了数学的对称美体现了数学的对称美. .(2)(2)对于适合两点式的直线而言对于适合两点式的直线而言, ,这两点是任意的这两点是任意的, ,但形式一但形式一定要一致定要一致, ,可以写成可以写成 也可以写成也可以写成 但不能写成但不能写成直线方程的两点式和截距式直线方程的两点式和截距式(3)(3)在直线方程的两点式中在直线方程的两点式中, ,由于由于x x1 1≠x≠x2 2且且y y1 1≠y≠y2 2, ,因此它不能因此它不能表示与两坐标轴垂直的直线表示与两坐标轴垂直的直线: :①①当当x x1 1=x=x2 2,y,y1 1≠y≠y2 2时时, ,直线方程为直线方程为x-xx-x1 1=0,=0,②②当当y y1 1=y=y2 2,x,x1 1≠x≠x2 2时时, ,直线方程为直线方程为y-yy-y1 1=0.=0.(4)(4)两点式方程若变形为两点式方程若变形为(y-y(y-y1 1)(x)(x2 2-x-x1 1)=(x-x)=(x-x1 1)(y)(y2 2-y-y1 1),),则此则此方程不再受方程不再受x x1 1≠x≠x2 2且且y y1 1≠y≠y2 2的限制，可表示过的限制，可表示过(x(x1 1,y,y1 1), ), (x(x2 2,y,y2 2) )的所有直线的所有直线. .(5)(5)特别地特别地, ,当当A A、、B B两点为直线与坐标轴的交点两点为直线与坐标轴的交点( (非原点非原点) )时时, ,两点式可化为截距式两点式可化为截距式, ,所以截距式是两点式的特殊情况所以截距式是两点式的特殊情况. . 直线方程的两点式万万不能写成直线方程的两点式万万不能写成 的形式的形式. .【例【例1 1】三角形的顶点是】三角形的顶点是A(-5,0)A(-5,0)、、B(3,-3)B(3,-3)、、C(0,2)C(0,2)，求这，求这个三角形三边所在直线方程个三角形三边所在直线方程. .【审题指导【审题指导】】由题目条件知，已知两点求直线方程，代入由题目条件知，已知两点求直线方程，代入直线方程的两点式或截距式可求得结果直线方程的两点式或截距式可求得结果. .【规范解答【规范解答】】∵∵直线直线ABAB过过A(-5,0)A(-5,0)、、B(3,-3)B(3,-3)两点，两点，由两点式得由两点式得: :整理得整理得3x+8y+15=0.3x+8y+15=0.∵∵直线直线BCBC过过C(0,2)C(0,2)、、B(3,-3)B(3,-3)两点，两点，由两点式得：由两点式得：整理得整理得:5x+3y-6=0.:5x+3y-6=0.∵∵直线直线ACAC过过A(-5,0),C(0,2)A(-5,0),C(0,2)两点两点, ,由截距式得由截距式得: :整理得整理得:2x-5y+10=0.:2x-5y+10=0.1.1.直线方程形式的选择技巧直线方程形式的选择技巧一般地一般地, , 直线方程形式的选择技巧如下：直线方程形式的选择技巧如下：(1)(1)已知一点通常选择点斜式已知一点通常选择点斜式; ;(2)(2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式已知斜率通常选择斜截式或点斜式; ;(3)(3)已知截距通常选择截距式已知截距通常选择截距式; ;(4)(4)已知两点通常选择两点式已知两点通常选择两点式. .直线方程的几种形式直线方程的几种形式2.2.直线方程的几种形式的转化直线方程的几种形式的转化 选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截距式时，应考虑零截距及与坐标轴不存在的情形；选择截距式时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与坐标轴平行的情形平行的情形；选择两点式时，应考虑与坐标轴平行的情形. .【例【例2 2】根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程】根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程. .(1)(1)斜率为斜率为2 2，且在，且在y y轴上的截距为轴上的截距为1;1;(2)(2)经过点经过点P P1 1(-2,1),P(-2,1),P2 2(3,2)(3,2)两点两点; ;(3)(3)在在x x轴、轴、y y轴上的截距分别为轴上的截距分别为3 3、、-5;-5;(4)(4)经过点经过点P(4,-3)P(4,-3)，且垂直于，且垂直于x x轴轴. .【审题指导【审题指导】】根据题意灵活选择直线的方程形式根据题意灵活选择直线的方程形式:(1):(1)斜截斜截式式,(2),(2)两点式两点式,(3),(3)截距式截距式,(4),(4)数形结合求解数形结合求解. .【规范解答【规范解答】】(1)(1)由题意知由题意知, ,直线的斜截式方程为直线的斜截式方程为y=2x+1,y=2x+1,化为一般式方程为化为一般式方程为2x-y+1=0.2x-y+1=0.(2)(2)由题意知由题意知, , 直线的两点式方程为直线的两点式方程为化为一般式方程为化为一般式方程为x-5y+7=0.x-5y+7=0.(3)(3)由题意知由题意知, , 直线的截距式方程为直线的截距式方程为化为一般式方程为化为一般式方程为5x-3y-15=0.5x-3y-15=0.(4)(4)由题意知由题意知, ,直线方程为直线方程为x=4,x=4,化为一般式方程为化为一般式方程为x-4=0.x-4=0. 对直线方程一般式的应用的认识对直线方程一般式的应用的认识(1)(1)直线方程的一般式同二元一次方程直线方程的一般式同二元一次方程Ax+By+CAx+By+C=0 (A=0 (A、、B B不不同时为零同时为零) )之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以借助于方程的观点来研究，这实际上也是解析几完全可以借助于方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在何的思想所在————用方程的思想来研究几何问题用方程的思想来研究几何问题. .(2)(2)可以借助于直线方程的五种形式间的互化，求解一些定可以借助于直线方程的五种形式间的互化，求解一些定值问题、范围问题等值问题、范围问题等. . 一般式的综合应用一般式的综合应用【例【例3 3】设直线】设直线l的方程为的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线若直线l不不过第三象限，求过第三象限，求a a的取值范围的取值范围. .【审题指导【审题指导】】首先把直线首先把直线l化成斜截式，由直线化成斜截式，由直线l不过第三象不过第三象限，求限，求a a的取值范围的取值范围. .【规范解答【规范解答】】把直线把直线l化成斜截式，得化成斜截式，得y=(1-a)x+a+2y=(1-a)x+a+2，，因为直线因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在且直线在y y轴上的截距大于等于零轴上的截距大于等于零. .即即 解得解得a≥1.a≥1.所以所以a a的取值范围为的取值范围为[1,+∞).[1,+∞).直线方程的实际应用常常与实际应用题相结合，直线方程的实际应用常常与实际应用题相结合，它涉及到直线方程的求法、函数建模思想、消元思想、二它涉及到直线方程的求法、函数建模思想、消元思想、二次函数最值求解等知识的综合应用，重要的是通过解析法次函数最值求解等知识的综合应用，重要的是通过解析法的思想，把实际问题转化成数学问题来求解的思想，把实际问题转化成数学问题来求解. .直线方程的实际应用直线方程的实际应用【例】某房地产公司要在荒地【例】某房地产公司要在荒地ABCDEABCDE上上划出一块长方形地面划出一块长方形地面( (不改变方位不改变方位) )，，拟建造一幢八层的公寓楼拟建造一幢八层的公寓楼, ,问如何设计问如何设计才能使公寓楼占地面积最大才能使公寓楼占地面积最大? ?并求出最并求出最大面积大面积.(.(精确到精确到1 m1 m2 2) )【审题指导【审题指导】】通过读题可发现：先应转化成代数问题，也通过读题可发现：先应转化成代数问题，也就是建系、设点、列出关于未知量的函数式，再求解就是建系、设点、列出关于未知量的函数式，再求解. .【规范解答【规范解答】】建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系, ,则线段则线段ABAB的的方程为方程为设点设点P P的坐标为的坐标为(x,y(x,y),),则则∴∴公寓占地面积为公寓占地面积为S=(100-x)(80-y)S=(100-x)(80-y)∴∴当当x=5x=5时时, ,此时点此时点P P的坐标为的坐标为 故以故以DCDC、、DEDE为邻边，为邻边，长为长为100-5=95(m)100-5=95(m)，宽为，宽为作长方形作长方形C′DE′PC′DE′P时，公寓楼的占地面积最大时，公寓楼的占地面积最大, ,最大面积约为最大面积约为6 017 m6 017 m2 2. .【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011··泰安高一检测泰安高一检测) )求经过点求经过点(4,-3)(4,-3)，，且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程. .【审题指导【审题指导】】所求直线在两坐标轴上的截距绝对值相等，所求直线在两坐标轴上的截距绝对值相等，故可设直线方程的截距式，需注意故可设直线方程的截距式，需注意““零截距零截距””的情形的情形. .【规范解答【规范解答】】设直线在设直线在x x轴与轴与y y轴上的截距分别为轴上的截距分别为a,ba,b. .(1)(1)当当a≠0,b≠0a≠0,b≠0时，设直线方程为时，设直线方程为…………………………………………………………………………………………………………………………2 2分分∵∵直线经过点直线经过点(4,-3)(4,-3)，， ……………………………………………………………………………………4 4分分∵|a|=|b|∵|a|=|b|，，∴ ∴ 或或 …………………………………………………………………………6 6分分∴∴直线方程为直线方程为x+y-1=0x+y-1=0或或x-y-7=0. x-y-7=0. ………………………………8 8分分(2)(2)当当a=b=0a=b=0时，则直线经过原点及时，则直线经过原点及(4,-3)(4,-3)，，∴∴直线方程为直线方程为3x+4y=0. 3x+4y=0. ………………………………………………………………1010分分综上，所求直线方程为综上，所求直线方程为x+y-1=0x+y-1=0或或x-y-7=0x-y-7=0或或3x+4y=0. 3x+4y=0. ………………………………………………1212分分【误区警示【误区警示】】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是( )( ) 是表示过点是表示过点(x(x1 1,y,y1 1) )且斜率为且斜率为k k的直线的直线(B)(B)在在x x轴和轴和y y轴上的截距分别是轴上的截距分别是a a、、b b的直线方程为的直线方程为(C)y=kx+b(C)y=kx+b与与y y轴的交点到原点的距离是轴的交点到原点的距离是b b(D)(D)不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式或斜截式【解析【解析】】选选D.AD.A不正确，因为该方程不包含点不正确，因为该方程不包含点(x(x1 1,y,y1 1);B);B不正不正确，该方程不包括截距为零的直线；确，该方程不包括截距为零的直线；C C不正确，截距不与距不正确，截距不与距离完全相同离完全相同. .只有当只有当b b＞＞0 0时时,y=kx+b,y=kx+b与与y y轴的交点到原点的距轴的交点到原点的距离是离是b.b.2.2.直线直线x-2y+4=0x-2y+4=0的截距式方程为的截距式方程为( )( )【解析【解析】】选选D.D.依据截距式方程的形式得直线依据截距式方程的形式得直线x-2y+4=0x-2y+4=0的截的截距式方程为距式方程为 选选D.D.3.3.过点过点A(1,2),B(1,4)A(1,2),B(1,4)的直线方程为的直线方程为__________.__________.【解析【解析】】因为因为A A、、B B两点的横坐标相等，故直线方程为两点的横坐标相等，故直线方程为x=1.x=1.答案：答案：x=1x=14.4.直线直线Ax+By+CAx+By+C=0,=0,当当A A＞＞0,B0,B＜＜0,C0,C＞＞0 0时，此直线必经过第时，此直线必经过第____________________象限象限. .【解析【解析】】把直线把直线Ax+By+CAx+By+C=0=0化成斜截式得化成斜截式得因为因为A A＞＞0,B0,B＜＜0,C0,C＞＞0 0，所以，所以 故直线必经过故直线必经过第一、二、三象限第一、二、三象限. .答案：答案：一、二、三一、二、三5.5.设直线设直线l的方程为的方程为(m(m2 2-2m-3)x+(2m-2m-3)x+(2m2 2+m-1)y=2m-6+m-1)y=2m-6，根据下，根据下列条件分别求列条件分别求m m的值的值. .(1)(1)在在x x轴上的截距为轴上的截距为1 1；；(2)(2)斜率为斜率为1 1；；(3)(3)经过定点经过定点P(-1P(-1，，-1).-1).【解析【解析】】(1)∵(1)∵直线过点直线过点(1(1，，0)0)，，∴∴m m2 2-2m-3=2m-6.-2m-3=2m-6.解得解得m=3m=3或或m=1.m=1.当当m=3m=3时，时，l的方程为：的方程为：y=0,y=0,不合题意，当不合题意，当m=1m=1时，时，l的方程为的方程为2x-y-2=02x-y-2=0，符合题意，，符合题意，∴∴m=1.m=1.(2)(2)由斜率为由斜率为1 1，得，得解得解得m=-1m=-1或或当当m=-1m=-1时，时，m m2 2-2m-3=0-2m-3=0且且2m2m2 2+m-1=0+m-1=0，不合题意，，不合题意，当当 时，时，l的方程为的方程为 合题意，合题意，(3)(3)由直线过定点由直线过定点P(-1P(-1，，-1)-1)，，得得-(m-(m2 2-2m-3)-(2m-2m-3)-(2m2 2+m-1)=2m-6+m-1)=2m-6，，解得解得 或或m=-2.m=-2.一、选择题一、选择题( (每题每题4 4分，共分，共1616分分) )1.(20111.(2011··厦门高二检测厦门高二检测) )直线直线x-y+5=0x-y+5=0的倾斜角为的倾斜角为( )( )(A)45(A)45°° (B)60 (B)60°°(C)120(C)120°° (D)135 (D)135°°【解析【解析】】选选A.∵A.∵直线直线x-y+5=0x-y+5=0的斜率的斜率k=1,k=1,由由tanαtanα=1=1可知可知α=45α=45°°. .2.(20112.(2011··聊城高一检测聊城高一检测) )若若mx+ny+12=0mx+ny+12=0在在x x轴和轴和y y轴上的截轴上的截距分别是距分别是-3-3和和4,4,则则m m和和n n 的值分别是的值分别是( )( )(A)4(A)4，，3 (B)-43 (B)-4，，3 3(C)4(C)4，，-3 (D)-4-3 (D)-4，，-3-3【解析【解析】】选选C.C.由题意可知，直线过点由题意可知，直线过点(-3(-3，，0)0)，，(0(0，，4).4).代代入方程求解得入方程求解得m=4,n=-3.m=4,n=-3.选选C.C.3.3.直线直线ax+by-abax+by-ab=0(ab≠0)=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距之和是在两坐标轴上的截距之和是( ( ) )(A)a+b (B)|a|+|b(A)a+b (B)|a|+|b| |(C)|a+b(C)|a+b| (D)| (D)只能恒为正数只能恒为正数【解析【解析】】选选A.A.把直线把直线ax+by-abax+by-ab=0(ab≠0)=0(ab≠0)化成截距式得化成截距式得 在两坐标轴上的截距之和为在两坐标轴上的截距之和为a+ba+b. .4.4.直线直线l过点过点A(-1A(-1，，-1)-1)和和B(2B(2，，5)5)，且点，且点C(1 005C(1 005，，b)b)也在直也在直线线l上，则上，则b b的值为的值为( )( )(A)2 008 (B)2 009(A)2 008 (B)2 009(C)2 010 (D)2 011(C)2 010 (D)2 011【解析【解析】】选选D.D.方法一：由题意可知方法一：由题意可知k kABAB=k=kACAC. .∴b=2 011.∴b=2 011.方法二：由两点式得，直线方法二：由两点式得，直线l的方程为的方程为 即即y=2x+1,y=2x+1,又点又点C (1 005C (1 005，，b)b)在在l上，上，∴∴b=2b=2××1 005+1=2 011.1 005+1=2 011.二、填空题二、填空题( (每题每题4 4分，共分，共8 8分分) )5.(20115.(2011··南京师大高二检测南京师大高二检测) )若一直线经过点若一直线经过点P(1,2)P(1,2)，且，且斜率与直线斜率与直线y=-2x+3y=-2x+3的斜率相等，则该直线的方程是的斜率相等，则该直线的方程是__________.(__________.(直线方程的一般式直线方程的一般式) )【解析【解析】】∵∵直线直线y=-2x+3y=-2x+3的斜率的斜率k=-2,k=-2,又所求直线过点又所求直线过点P(1,2)P(1,2)，，∴∴所求直线的方程为所求直线的方程为y=-2(x-1)+2,y=-2(x-1)+2,即即2x+y-4=0.2x+y-4=0.答案：答案：2x+y-4=02x+y-4=06.6.设直线设直线l的方程为的方程为x-y+2-a=0.x-y+2-a=0.若若a a＞＞2,2,则直线则直线l不经过第不经过第____________________象限象限. .【解析【解析】】由由x-y+2-a=0x-y+2-a=0得得y=x+2-a.y=x+2-a.令令x=0x=0得得y=2-a,y=2-a,∵a∵a＞＞2,∴2-a2,∴2-a＜＜0,0,可知可知l不经过第二象限不经过第二象限. .答案：答案：二二三、解答题三、解答题( (每题每题8 8分，共分，共1616分分) )7.7.求经过求经过A(A(－－2 2，，3)3)，，B(4B(4，－，－1)1)的直线的两点式方程，并的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式把它化成点斜式、斜截式和截距式. .【解析【解析】】∵∵直线过直线过A(A(－－2 2，，3)3)，，B(4B(4，－，－1)1)，，∴∴两点式方程为两点式方程为 即即∴∴点斜式方程为点斜式方程为斜截式方程为斜截式方程为截距式方程为截距式方程为8.(20118.(2011··海口高二检测海口高二检测) )已知直线已知直线l在两坐标轴上的截距之在两坐标轴上的截距之和为和为1212，又直线，又直线l经过点经过点(-3,4)(-3,4)，求，求l的方程的方程. .【解析【解析】】由题可设由题可设l的方程为的方程为 依题意得，依题意得， 解得解得 或或所以所求的直线方程为所以所求的直线方程为 或或即即4x-y+16=04x-y+16=0或或x+3y-9=0.x+3y-9=0. 【方法技巧【方法技巧】】揭秘与截距有关的问题的求解策略揭秘与截距有关的问题的求解策略1.1.采用截距式求直线方程时，要注意考虑采用截距式求直线方程时，要注意考虑““截距为零截距为零””的的情况情况. .2.2.一般地，在截距非零的情况下，可设方程为一般地，在截距非零的情况下，可设方程为 (ab≠0).(ab≠0).在截距为零的情况下，由于直线过原点一般可设在截距为零的情况下，由于直线过原点一般可设y=kxy=kx. .3.3.当题目中出现当题目中出现““截距相等截距相等””、、““截距互为相反数截距互为相反数””或或““截距间成倍数关系截距间成倍数关系””等条件时，一般要先讨论截距是否为等条件时，一般要先讨论截距是否为零，然后再转化成零，然后再转化成2.2.4.4.求解有关直线与坐标轴围成的三角形的面积问题时，常求解有关直线与坐标轴围成的三角形的面积问题时，常把直线的方程设为截距式把直线的方程设为截距式. .【挑战能力【挑战能力】】(10(10分分) )已知点已知点A(4A(4，，0)0)，，B(0B(0，，2)2)，动点，动点P(x,yP(x,y) )段段ABAB上上运动运动. .(1)(1)求求xyxy的最大值的最大值; ;(2)(2)在在(1)(1)中中xyxy取最大值的前提下，是否存在过点取最大值的前提下，是否存在过点P P的直线的直线l，，使使l与两坐标轴的截距相等，若存在，求与两坐标轴的截距相等，若存在，求l的一般式方程，若的一般式方程，若不存在，请说明理由不存在，请说明理由. . 【解题提示【解题提示】】写出直线的方程写出直线的方程, ,利用变量间的等量利用变量间的等量关系建立函数关系关系建立函数关系, ,并求其最值并求其最值. .【解析【解析】】(1)(1)由题意可知由题意可知ABAB的方程为的方程为 (0≤x≤4, (0≤x≤4, 0≤y≤2),0≤y≤2),∴x=4-2y,∴x=4-2y,∴xy∴xy=(4-2y)=(4-2y)··y=-2(y-1)y=-2(y-1)2 2+2,+2,又又0≤y≤2.0≤y≤2.∴∴当当y=1y=1时，时，xyxy有最大值有最大值2 2，此时，此时x=2.x=2.(2)(2)由由(1)(1)知知P(2P(2，，1).1).当截距为零时，设直线当截距为零时，设直线l：：y=kxy=kx, ,则则1=2k1=2k，，即即 也就是也就是2y-x=0,2y-x=0,当截距不为零时，可设当截距不为零时，可设l为：为：∴a=3∴a=3，即，即l的方程为的方程为x+y-3=0.x+y-3=0.。