华杯赛决赛第13~16届(初一组)试题及答案.pdf

第十三届全国 华罗庚庚金杯 少年数学邀请赛决赛试卷 初一组 第十三届 华罗庚金杯 少年数学邀请赛第十三届 华罗庚金杯 少年数学邀请赛 决赛试卷 初一组 决赛试卷 初一组 建议考试时间 2008 年 4 月 19 日 10 00 11 30 一 填空 每题 10 分 共 80 分 1 某地区 2008 年 2 月 21 日至 28 日的平均气温为 1 2 月 22 日至 29 日的平 均气温为 0 5 2 月 21 日的平均气温为 3 则 2 月 29 日的平均气温为 2 已知新北京 新 奥 运 2008 其中每个汉字都代表 0 到 9 的数字 相同的 汉字代表相同的数字 不同的汉字代表不同的数字 则算式 1 运奥 新 京新北 3 代数和 1 2008 2 2007 3 2006 4 2005 1003 1006 1004 1005 的 个位数字是 4 用一个平面去截一个长方体 裁面是一个多边形 这个多边形的边数最多有 条 5 一列数 1 3 6 10 15 21 中 从第二个数开始 每一个数都是这个数的序号加上 前一个数的和 那么第 2008 个数是 6 当 x 取相反数时 代数式 ax bx 对应的值也为相反数 则 ab 等于 2 7 已知是以x为未知数的一元一次方程 如果06 3 9 22 xmxmma 那么ma ma 的值为 8 在 3 4 方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子 至少要去掉 枚围棋 子 才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点 第十三届全国 华罗庚庚金杯 少年数学邀请赛决赛试卷 初一组 二 解答下列各题 第题 10 分 共 40 分 要求写出简要过程 9 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数 且最大角是最小角的 4 倍 那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值 10 小明将 164 个桃子分给猴子 余下的几个留给了自己 每只猴子得到了数目相 同的桃子 小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一 问共有多少只猴子 11 下图中 E F 为三角形 ABC 边上的点 CE 与 BF 相交于 P 已知三角形 PBC 的 面积为12 并且三角形EBP 三角形FPC及四边形AEPF的面积都相同 求三角形EBP 的面积 C P B E F A 12 现有代数式 x y x y xy 和 y x 当 x 和 y 取哪些值时 能使其中的三个代数式 的值相等 三 解答下列各题 每题 15 分 共 30 分 要求写出详细过程 13 对于某些自然数 n 可以用 n 个大小相同的等边三 角形拼成内角都为120 的六边形 例如 n 10时就可以拼出 这样的六边形 见右图 请从小到大 求出前 10 个这样的 n 14 对于有理数 x 用 x 表示不大于 x 的最大整数 请解方程 0 25 25 10320 2 y y 第十三届全国 华罗庚庚金杯 少年数学邀请赛决赛试卷 初一组 第十三届第十三届 华罗庚金杯华罗庚金杯 少年数字邀请赛少年数字邀请赛 决赛试题参考答案 初一组 一 填空 每题 10 分 共 80 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1 29 8 6 2017036 0 6 4 二 解答下列各题 每题 10 分 共 40 分 要求写出简要过程 9 答案 20 21 22 解答 设最小角为 x 最大角为 4x 另一个角为 y 则由题目的条件得 1804 xyx xyx4 904 x 由 的前两个式子得到 xxyxx918046 解得3020 x 又由 的第三 个式子得到 所以 5 22 x2220 x 评分参考 1 给出三个关系 给4分 2 得出范围给4分 3 给出答案给2分 10 答案 10 解答 设有n只猴子 小明留给自己p个桃子 每只猴子分到了4p个桃子 则 pnp4164 所以p是4的倍数 令 1 4pp 则npp 11 441 是4的倍数 令 则 1 41p 14 1 kpnkk 14 4440 k k n 1 10 4 因为n是正整数 所以 当 时 0 k 0 k n10 评分参考 1 给出p n的关系给3分 2 得到n k的最终关系给4分 3 得到答案给3分 11 答案 4 三角形EBP的面积为X 连接AP 若令 A F E B C P 解答 设 三角形APF的面积为Y 则三角形AEP的 第十三届全国 华罗庚庚金杯 少年数学邀请赛决赛试卷 初一组 面积为YX 因为 YXSSSS APFFPCBFABCF YXXSSSS AEPEBPAECBCE 而 BCFBCE SS XXXSS AECBFA 2 所以有 YXXYX 解得 2 X Y 即1 2 2 2 12 SS BFABCF X XXX 所以X 4 三角形EBP的面积为4 评分参考 1 引出辅助线给2分 2 得到X与Y的关系给4分 3 得到答案给4分 12 答案 2 1 x 1 y 2 1 x 1 y 解答 首先必须0 y 否则 y x 没有意义 若yxyx 则 矛盾 所以 0 y yxyx 若0 x 则由xyyx 或xyyx 都得到0 y 所以 即 因此 三个相等的式子只有两种可能 0 x 0 xy 1 y x xyyx 由后一等式得到 1 y或1 y 而1 y是不可能的 因为 此时由第一个等式得到 矛盾 当xx 11 y时 由第一个等式得到 即 所以 xx 1 12 x 2 1 x 2 y x xyyx 由后一等式同样得到 1 y或1 y 同样 是不可能 的 而当时 由第一个等式得到 1 y 1 y12 x 所以 2 1 x 评分参考 1 1 之前给2分 2 1 和 2 各给4分 三 解答下列各题 每题 15 分 共 30 分 要求写出详细过程 13 答案 6 10 13 14 16 18 19 22 24 25 解答 设所用的等边三角形的边长单位为1 任何满足条件的六边形的外接三角 形一定是一个边长为l的大等边三角形 该六边形可以通过切去边长分别为的cba 第十三届全国 华罗庚庚金杯 少年数学邀请赛决赛试卷 初一组 等国三角形的角而得到 其中为正整数 并且满足 cba 12x 11 2 12 2 11 6 18 1236 6 1 cba 22 cba 11 4 222 16925 2325 1136 2 936 12 bal 2 16 12 5 27 又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x 正整数 的等边三角形所需 要 的 个 数 是 因 此 其 中 2 531x 1 cb 2 ln 3 l bal a 1 时 n可以为 3 l639 13 222 2 时 n可以为 4 l10616 14 222 133 3 时 与上面不同的n可以为 5 l 1425 113 5 2222 122 5 2222 1925 112 5 2222 2111 5 2222 4 时 与上面不同的n可以为 6 l 1836 114 6 2222 2113 6 222 24 222 6 2222 22 6 222 3036 112 6 2222 36 3 33 111 6 2222 5 时 与上面不同的n都比27大 7 l 6 时 可以证明满足要求的n都不小于26 8 l 由 1 到 6 可得 前10个满足要求的n为6 10 13 14 16 18 19 22 24 25 评分参考 1 写出10个中的1个给1分 2 给出足够的理由 例如 1 之前的部分给5分 14 答案 3 10 y或10 y 解答 因为方程左边的第1 3项都是整数 所以3是整数 注意到 y 2 25 1 25 1 2 yy 25 25 2 y 代入方程 得到0 25 1010320 2 y y 0 2510 3 1 2 yy 所以 10 3y 是整数 第十三届全国 华罗庚庚金杯 少年数学邀请赛决赛试卷 初一组 y3是10的倍数 令ky103 k是整数 代入得 1 25 2 k k 9 4 9 4 1 9 4 9 100 10 222 kk k k k xx 其中 对于有理数x 所以有 x 9 4 9 4 1 22 kk k 0 9 4 11 2 k k 当k取不同整数时 2 的情况如下表 9 4 1 k k k 2 1 0 1 2 3 3 9 4 2 k k 1 9 4 1 9 14 9 11 0 1 1 K的可能值是和3 相应的1 3 10 y和y 10 代入验算得到 3 10 y或 10 y 评分参考 1 得到 10 3y 是整数给3分 2 得到关于k的不等式给5人 3 得到列表的结果 给5分 3 每个答案各给1分 WWW HUABEISAI CNWWW HUABEISAI CN 守惇寶呪酘椨紾 婉桿鈑喃瀺岪髃袴髃嗎佳 C 降 埴 菅 苅 満 煎 潮 鳳 臼 稗 A 宿穆襖系 襖埒亢洪 隸掮 2009 桿 4 鶇 11 陞 10 00 11 30 10 80 1 625 6 13 4 3 1 3 4 2 2 僲鶫 鈑 a b c 覇鈑昡 35奧棗7 12洛 虹罕学校法人 鉱鰯鈑歡 bccaab 3 僲 m n 韋螌蹻鉉鈑 nm23 鉱 n 尞籾鼏歡 2m 尞籾鼏歡 声韋 尞籾鼏歡 4 譲 皿炊槀 峺 丈 緯峺約梗晶 峺吨圾 10 朱 薰婀隸 3 朱 穀峺黰醸 初吨 峺 峺薰婀隸 5 朱 榺押 皿炊 峺35桷 賠氊楾韋薰婀隸 朱 容迷 薬声 貼呷銀 5 攸s b韋鶫 鈑 鶫印 歡 a p baba q 0 0 1 22 baba r 1 2 2 22 baba 券 圀 縟 35韋 倣弦棧障 6 彐 形 尞鑷 埴 1334 324 myx nyx 35 x 声 y 僇21 x 42 y 鉱nm 35沼還慼軟 7 胥 2006 2007 2008 2009 惇 鈑紅麹倣激 歡 35惇 鑷蔣 鉱 歡35鵝弥詔忘還韋 8 鶫茜鬘 鈑 0韋緯艮湫醸嵇榰韋緯醸湫艮嵇 嵇梗35聴 畐Y蒸 榺珊35 鬘 鈑衝嬉9豚錮鈑 貨洛 3 55 14741 覇弥 0 婀 10000 35豚 錮鈑 3 35乾鈑35鈑訒 7 35乾鈑35鈑籾 1 WWW HUABEISAI CNWWW HUABEISAI CN 守惇寶呪酘椨紾 婉桿鈑喃瀺岪髃袴髃嗎佳 C 降 埴 10 40 菅 苅 満 煎 潮 鳳 臼 稗 9 印 x 学校法人 乑棙 x 35鵝弥鉉鈑 鑷 2x 3x 95 宿穆襖系 襖埒亢洪 10 僲 x y 蕉忘沼鬘 鈑 1 2 3 梏 禾 歡 111 10 xy 縟 x 沼夷 還隸 y 梫穀鵝弥還 11 圾鑷濤 ABCD BEFG EOPQ 洛醤虹蛬郊 噪淫35 圾埓訒畐韋 鵝弥圾鑷濤35螞 韋 17 鵝婀圾鑷 濤35螞 5 捓 虹 惇梘濤 CDGF 35螞 惇梘 濤 FGQP 35螞 声韋籾婉 3 2 12 覇鑷灼躑35薰 婀鑷灼献情鶫 橫鈑 榺茜橫鈑 僇 88 1 薰 緯攀 2 鑷灼鬱臨 薰 灼啀 35鈑 券攀梘Y狳灼啀 35鈑 攴畐Y蒸 2 薰 郊緯 2 鑷灼鬱臨 薰 灼啀 35鈑畐韋券 螞Y 灼啀 35鈑35 q 乾 捓 覇醤虹餌梗35 鈑35發濤 奧 舜 35 8 鈑 声韋籾婉 容迷 薬声 貼呷銀 15 30 13 洛醤虹罕学校法人 任趨 鶫 2009 7 12 擲障 1 穀 2009 畏緯擲障 1 357 12鬱臨 薰痡 6 7 12唱蛄 7 12 貨洛 1 尞唱蛄擲障韋 8 357 12 2 尞唱 蛄擲障韋 15 357 12 覇Y狳 婀鑷灼35 穴件梘 餌鶫鈑隸 榰 洽 敺穀梫 C 芭隸 敺穀梫 D 芭 攸s 敺35氊楾 声韋薰婀隸 220 朱 25 36 AB AD 敺35氊楾 11 攸s倦 35鑷 x2 axx 蕉鶫蹻鈑屢 35沼還慼軟 a 12 厄 声 u 掮鶫惇 梓毚擺剣 栂黝 2 7敺 旔兟 圾殮a敺 岸鸚紒 喉押蒸喃唱 u閘 尞 奧 券 35鵜碆 押蒸喃 唱 u隸罕 35梓毚擺剣情 Y蒸 緯 u豚 隸罕 35梓毚擺剣情 Y蒸 鉱 榺茜蒸喃鵝籾鶫籾婉押 容迷 薬声 貼呷銀 15 30 13 覇 螞35 歡 薰 鈑啗 姉55q横 姉55 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