《正切函数的性质与图像》示范教学课件人教新课标B版.pptx

正切函数的性质与图像 问题情境 问题1前面学习了正弦函数与余弦函数，是不是有正切函数呢？ 新知探究 正切函数 对于任意一个角x，只要x k，kZ，就有唯一确定的正切值tan x与之对 应，因此ytan x是一个函数，称为正切函数 新知探究 问题2你能由正切线得出正切函数ytan x具有哪些性质吗？ 1 O x y A T x 就是角x的正切线 新知探究 1 O x y A T x l正切函数的性质 （1）定义域与值域 因为角 k（kZ）的终边与横轴垂直，其正切值不存在， 因此可知ytan x的定义域为x|x k，kZ 由图中的正切线可以看出，当x从0开始增大并越来越接近 时，tan x的值从0开始增大， 且它的值可以大于指定的任意正数，也就是说tan x能取到0，）内的所有数， 类似的，可以看出tan x能取到（，0内的所有数，因此ytan x的值域为R 新知探究 l正切函数的性质 （2）奇偶性 由诱导公式tan（x）tan x可知，正切函数ytan x是一个奇函数 【想一想】函数是奇函数还是偶函数？ 是奇函数 1 O x y A T x 新知探究 l正切函数的性质 （3）周期性 1 O x y A T x 由诱导公式tan（x）tan x或图中正切线的变化规律可知，ytan x是周期为的周 期函数 新知探究 1 O x y A T x l正切函数的性质 （4）单调性 由ytan x是以为周期的周期函数可知，我们只要知道正切函数在 内的单 调性，就能得到正切函数在所有有定义的区间上的单调性 由图中的正切线可以看出，正切函数ytan x在区间 上单调递增，由此可知 ， ytan x在每一个开区间 上都是单调递增的 【想一想】函数ytan x的单调性如何？ 在 上单调减 新知探究 l正切函数的性质 （5）零点 不难看出，正切函数ytan x的零点为k（kZ） 【想一想】正切函数的对称性如何？ 1 O x y A T x 没有对称轴，有无数个对称中心 新知探究 正切函数ytan x周期为的周期函数 正切函数ytan x是奇函数 正切函数ytan x的零点是k（kZ） 正切函数ytan x的定义域是x|x k，kZ，值域是R 正切函数ytan x在每一个开区间（ k， k）（kZ）上都是单调递增的 新知探究 问题3正切函数ytan x的图像会是什么样呢？根据正切函数的性质，我们只要研究 区间长度为多少的函数图像即可？ x0 ytan x10 描点 连线 作这一段图像关于原点对称的图像 正切函数ytan x的图像 取 内的几个点，列表 Ox y 1 2 3 3 2 1 22 ytan x在 上的函数图像 ytan x的周期是 新知探究 取 内的几个点，列表 x0 ytan x10 再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图像，如图： O y 1 2 3 3 2 1 x ytan x的函数图像称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心 为 kZ 新知探究 问题3正切函数ytan x的图像会是什么样呢？根据正切函数的性质，我们只要研究 区间长度为多少的函数图像即可？ 初步应用 例1求函数ytan（x ）的定义域 解答：令ux ，则ytan（x ）可以转化为ytan u， 因为ytan u中u k，kZ， 所以xk，kZ， 即x k，kZ， 所以函数ytan（x ）的定义域为x|x k，kZ 初步应用 例2求函数ytan 3x的周期 解答：令u3x，则ytan 3x可以化为ytan u 由ytan u的周期为可知，对任意u， 对应的函数值才重复出现，因为：u3x3（x ） 当它增加到且至少增加到u时， 这说明对任意x，当它增加到且至少增加到x 时， ytan 3x的函数值才重复出现，这就说明ytan 3x的周期为 初步应用 结论：函数yAtan（x）的最小正周期为 初步应用 例3（1）求函数的单调区间； （2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小 解答：（1）化简得， 由 ，kZ， 解得 ，kZ 函数的单调减区间是 ，kZ 初步应用 例3（1）求函数的单调区间； （2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小 （2）tan 2tan（2），tan 3tan（3） tan（2）tan（3）tan 1， 又 2， 20 3， 30， 显然 231 ，且ytan x在 内是增函数， 因此tan 2tan 3tan 1 初步应用 例4已知 ，f（x）tan2x2tan x2，求f（x）的最值及相应的x值 解答：因为 ，所以 tan x1 f（x）tan2x2tan x2（tan x1）21， 当tan x1即x 时，f（x）有最小值1， 当tan x1即x 时，f（x）有最大值5 初步应用 例5画出函数y|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性 解答：由y|tan x|得，其图像如图： 由图像可知，函数y|tan x|是偶函数， 函数y|tan x|的周期T 函数y|tan x|的单调递增区间 （kZ），递减区间为 （kZ） 练习 练习：第5657页练习A14 归纳小结 正切函数ytan x周期为的周期函数 正切函数ytan x是奇函数 正切函数ytan x的零点是k（kZ） 正切函数ytan x的定义域是x|x k，kZ，值域是R 正切函数ytan x在每一个开区间（ k， k）（kZ）上都是单调递增的 l正切函数的性质 归纳小结 正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为x k，（kZ），相邻两条渐近线之间都 有一支正切曲线，且单调递增；有无数个对称中心 l正切函数的图像 作业布置 作业：教科书第57页练习B 15 敬请各位老师提出宝贵意见！ 再见再见再见再见 。