考点23圆锥曲线综合应用(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(解析版).docx

考点23圆锥曲线综合应用（核心考点讲与练） 1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.5.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝·.1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略（1）求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.（2）求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.（3）求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2.圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.　3.圆锥曲线中常见的最值问题及其解法（1）两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2）两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.4.存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.解决存在性问题应注意以下几点：（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.5.解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；（2）强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．6.解答圆锥曲线问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.7..圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.8.有关弦的三个问题(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.9.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数.定值问题1.（2022·河南·二模（文））已知点，直线l：y=4，P为曲线C上的任意一点，且是P到l的距离的.(1)求曲线C的方程；(2)若经过点F且斜率为的直线交曲线C于点M､N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）设,根据题意列出方程整理即得；（2）直线的方程为,与曲线C方程联立消去整理得：,检验判别式并利用弦长公式求得，利用韦达定理和中点坐标公式及直线垂直时的斜率关系得到中垂线的方程，进而求得的坐标，得到,从而证得结论.(1)设,由已知得,整理得：,此即为曲线C的方程；(2)经过点F且斜率为的直线的方程为,与曲线C方程联立得：,消去整理得：,恒成立,设,则,，设线段的中点为,则，，线段的中垂线的斜率为，方程为,令,解得，即为点的纵坐标，∴,∴（为定值）2.（2021广东省深圳市第七高级中学高三第二次月考）抛物线：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，弦的最小值为2.（1）求抛物线E的标准方程；（2）设点Q是直线上的任意一点，过点的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为，，，证明：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用焦点弦的性质可知，即求；（2）设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理法即证.【详解】（1）对于，过焦点的弦最短时，弦垂直于轴，此时M，N两点的横坐标均为，代入可求得纵坐标分别为，则此时，所以，即抛物线方程为.（2）证明：设，，，因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为，联立方程，消去得.所以且又所以（定值）.3.（2021四川省双流中学高三上学期10月月考）已知，分别是椭图：的左，右焦点，的顶点都在椭圆上，且边，分别经过点，.当点在轴上时，为直角三角形且面积为.（1）求的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，求证：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由题意可得为等腰直角三角形，且点为椭圆的上顶点，，再结合的面积为1，可求出的值，从而可求出，进而可求出椭圆方程，（2）先讨论直线或的斜率不存在的情况 ，再设，直线为，代入椭圆方程中消去，再由根与系数的关系可得，再结合表示出，从而可得，同理可得，代入中化简可得结论（1）由题意可得为等腰直角三角形，且点为椭圆的上顶点，，因为的面积为1，所以，解得，则，，所以椭圆方程为（2）若直线的斜率不存在，则直线为，将代入椭圆方程得，，不妨设，则，即，此时直线的斜率为，直线的方程为，代入椭圆方程得，所以，得，所以，同理可得直线的斜率不存在时，可得，若直线的斜率存在，设，直线为，代入椭圆方程得，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，所以，所以，所以，同理可得，所以所以为定值定点问题1.（2021“四省八校”高三上学期期中质量检测）已知椭圆的方程为：（），离心率为，椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点作不平行于轴的直线交椭圆于、两点，点关于轴对称点为，求证：直线过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1） 由题意知，，再由得到各个参数值，进而得到方程；（2）将直线和椭圆方程联立，直线方程为：，化简得到，再由直线方程化简得到，代入韦达定理即可得到结果.（1）由题意知，，，，（2），设：，与，联立得设，，，，直线方程为：，即：，过定点.（四川省成都市石室中学2021-2022学年高三上学期期中）2. 设抛物线的焦点为，过焦点作直线交抛物线于，两点．（1）若，求直线的方程；（2）设为抛物线上异于，的任意一点，直线，分别与抛物线的准线相交于，两点，求证：以线段为直径的圆经过轴上的定点．【答案】（1） （2）证明见解析【分析】（1）设出过焦点的直线，再和抛物线联立，最后运用抛物线的定义及韦达定理可求出直线方程；（2）求出直线，分别与抛物线的准线相交于，两点的坐标，然后根据向量数量积为零建立方程求解即可.【小问1详解】由已知，得设直线的方程为，代入，得．设，，则，．则，解得，所以直线的方程为．【小问2详解】证明：设，则，故直线的方程为．令，得，所以点．同理可得，点．设以线段为直径的圆与轴的交点为则，．由题意，知，则，即．由（1）可得，所以解得或，故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.最值与范围问题1.（2021四川省攀枝花市高三第一次统考）已知双曲线的两个焦点分别为，，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若轨迹上存在两点，满足（，分别为直线，的斜率），求直线的斜率的取值范围.【答案】（1） （2）【分析】（1）由题设知：，结合椭圆的定义写出轨迹的方程；（2）设：，，联立椭圆方程并应用韦达定理可得，，根据可得，由有，即可求直线的斜率的取值范围.【小问1详解】由题设，若，∴，即动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，∴动点的轨迹的方程为.【小问2详解】由题设，设直线：，，∴.联立轨迹可得：，则，∴，，，则，即，∵，且，∴且，可得或.2.（2021浙江省绍兴市第一中学高三上学期期中）设点，分别是椭圆的左､右焦点，.（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，作，分别交直线于，两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）2【分析】（1）依题意可得，，即可求出，从而求出椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立得，根据直线和椭圆有且仅有一个公共点得.设，.分当、时，求解得出.（1）解：因为，所以，又因为，即，所以，所以椭圆方程为；（2）解：联立，得，直线和椭圆有且仅有一个公共点，，即.设，.①当时，四边形为矩形，此时②当时，过作的垂线，垂足为，则，，则，，又，，同理：，.，，，即.综上所述，，，即S的最大值为2.圆锥曲线弦长1．（多选）（2022·广东潮州·二模）已如斜率为k的直线l经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，，直线l与抛物线交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（       ）．A．为定值 B．为定值C．k的取值范围为 D．存在实数k使得【答案】ACD【分析】设l的方程为，联立，整理得，根据根与系数的关系可判断A、B选项．由弦长公式，得，再联立，M，N两点在y轴的两侧，求得，由此判断C．设，，由弦长公式得，继而由已知得，求解即可判断D选项．【详解】解：由题意可设l的方程为，联立，得，则为定值，故A正确．又，故B不正确．，则，即，联立，得，∵M，N两点在y轴的两侧，∴，且，∴．由及可得或，。