2013年新课标Ⅱ高考理科数学真题及答案.doc

2013年新课标Ⅱ高考理科数学真题及答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1）已知集合M = {x | (x -1)2 < 4, x∈R}，N =｛-1, 0, 1, 2, 3｝，则M ∩ N = （A）{0, 1, 2｝ （B）{-1, 0, 1, 2} （C）{-1, 0, 2, 3} （D）{0, 1, 2, 3} 答案：A【解】将N中的元素代入不等式：(x -1)2 < 4进行检验即可.（2）设复数z满足(1-i )z = 2 i ，则z =（A）-1+ i （B）-1- i （C）1+ i （D）1- i 答案：A【解法一】将原式化为z = ,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一检验即可.（3）等比数列{an}的的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1 =（A） （B）- （C） （D）- 答案：C【解】由S3 = a2 +10a1 ⇒ a3 = 9a1 ⇒ q2 = 9 ⇒ a1 = = （4）已知m, n为异面直线，m⊥平面a，n⊥平面b . 直线l满足l⊥m，l⊥n，la，lb, 则：（A）a∥b且l∥a （B）a⊥b且l⊥b （C）a与b 相交，且交线垂直于l （D）a与b 相交，且交线平行于l 答案：D【解】显然a与b 相交，不然a∥b 时⇒ m∥n与m, n为异面矛盾. a与b 相交时，易知交线平行于l.S = S+T否开始k =1, S = 0,T =1T=k > N是输出S结束输入Nk= k +1（5）已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a =（A）- 4 （B）- 3 （C）- 2 （D）- 1 答案：D 【解】x2的系数为5 ⇒C+ aC= 5 ⇒ a = - 1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =（A）1+ + + … + （B）1+ + + … + （C）1+ + + … + （D）1+ + + … + 答案：B 【解】变量T, S, k的赋值关系分别是：Tn +1 = , Sn +1 = Sn + Tn +1, kn +1 = kn + 1.( k0 =1, T0 = 1, S0 = 0)⇒ kn = n + 1, Tn = ×× …××T0 = ××…× = ,Sn = (Sn - Sn -1) + (Sn -1- Sn -2) + … + (S1- S0) + S0 = Tn + Tn -1 + … + T0 = 1+ + + … + 满足kn > N的最小值为k10 = 11，此时输出的S为S10 （7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0），(0, 1, 1），(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(A)(B)(C)(D) 答案：A【解】（8）设a = log 36，b = log 510，c = log 714，则（A）c > b > a （B）b > c > a （C）a > c > b （D）a > b > c答案：D 【解】a = 1 + log 32，b = 1 + log 52，c = 1 + log 72log 23 < log 25 < log 27 ⇒ log 32 > log 52 > log 72 ⇒ a > b > c（9）已知a > 0，x, y满足约束条件 , 若z =2x + y的最小值为1，则a =（A） （B） （C）1 （D）2答案：B 【解】如图所示，当z =1时，直线2x + y = 1与x = 1的交点C (1, -1) 即为最优解，此时a = kBC = （10）已知函数f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c，下列结论中错误的是 （A）$x0∈R, f (x0)= 0 （B）函数y = f (x )的图像是中心对称图形 （C）若x0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(-∞, x0)单调递减 （D）若x0是f (x )的极值点，则f '(x0 ) = 0答案：C 【解】f (x ) 的值域为(-∞, +∞), 所以（A）正确； f (x ) = [x 3 + 3x 2• + 3x•( )2 + ( )3 ]+ bx - 3x•( )2 + c- ( )3 = (x + )3 + (b - )(x + ) + c- - 因为g (x ) = x 3 + (b - )x是奇函数，图像关于原点对称，所以f (x ) 的图像关于点(- , c- - )对称.所以（B）正确；显然（C）不正确；（D）正确.（11）设抛物线C：y2 =2px ( p > 0)的焦点为F，点M在C上，| MF |=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则C的方程为（A）y2 = 4x或y2 = 8x （B）y2 = 2x或y2 = 8x（C）y2 = 4x或y2 = 16x （D）y2 = 2x或y2 = 16x答案：C 【解】设M(x0, y0)，由| MF |=5 ⇒ x0 + = 5 ⇒ x0 = 5 - 圆心N(+ , )到y轴的距离| NK | = + = | MF |，则圆N与y轴相切，切点即为K(0, 2)，且NK与y轴垂直⇒ y0 = 4⇒2p(5 - ) = 16 ⇒ p = 2或8 .（12）已知点A(-1, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，直线y = ax +b (a > 0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是：（A）(0, 1) （B）(1- , ) （C）(1- , ] (D) [ , )答案：B 【解】情形1：直线y = ax +b与AC、BC相交时，如图所示，设MC = m, NC = n, 由条件知S△MNC = ⇒ mn = 1显然0 < n ≤ ⇒ m = ≥ 又知0 < m ≤, m ≠ n所以≤ m ≤ 且m ≠ 1D到AC、BC的距离为t, 则+ = + = 1⇒ t = ⇒= m + f (m ) = m + (≤ m ≤ 且m ≠ 1)的值域为(2, ] ⇒ 2 < ≤⇒ ≤ t < 因为b =1- CD =1- t ，所以1- < b ≤ 情形2：直线y = ax +b与AB、BC相交时，如图所示，易求得xM = - , yN = ,由条件知(1+ ) = 1⇒ = aM段OA上⇒0< <1 ⇒0 < a < bN段BC上⇒0< <1 ⇒b < 1解不等式：0 < < b得 < b < 综上：1- < b < 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则• = .答案：2 【解】建立如图所示的坐标系，则= (1, 2)，= (-2, 2)，则• = 2（14）从n个正整数1, 2, …, n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 ，则n = .答案：8 【解】事件A：取出的两数之和等于5，① n = 3 时, n(A) =1由P(A) = ⇒n(W) = 14 ⇒ C= 14 ⇒n(n - 1) =28(无解)② n > 3时, n(A) = 2由P(A) = ⇒n(W) = 28 ⇒ C= 28 ⇒n(n - 1) = 56 ⇒n = 8（15）设q 为第二象限角，若tan(q + ) = ，则sinq + cosq = .答案：- 【解法一】由q 为第二象限角及tan(q + ) = > 0⇒q + 为第三象限角，在q + 的终边上取一点P(-2, -1)，易得sin(q + ) = - ⇒ sinq + cosq = sin(q + ) = - （16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10 = 0，S15 = 25，则nSn 的最小值为 .答案：- 49【解法一】由S10 = 0，S15 = 25 ⇒ a1 = -3，公差d = ，⇒ Sn = n(n - 10)将Sn是关于n的函数，其图像关于n = 5对称，n < 10时，Sn < 0，n > 10时，Sn > 0，所以nSn的最小值应在n = 5, 6, 7, 8, 9中产生，代入计算得n = 7时nSn最小，最小值为- 49.【解法二】同解法一得：Sn = n(n - 10)设f (n ) = nSn = (n3- 10n)f '(n ) = n(n - )，靠近极小值点n = 的整数为6和7，代入f (n )计算得n = 7时f (n )最小，最小值为- 49.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17）（本小题满分12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a = bcosC + csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b =2，求△ABC面积的最大值.【解】（Ⅰ）由a = bcosC + csinB ⇒ sin A = sinBcosC + sinCsinB ⇒ sin (B+C) = sinBcosC + sinCsinB ⇒ cosB = sinB ⇒ B = （Ⅱ）由余弦定理得：a2 +c2 - ac = 4 ⇒ 4+ac = a2 +c2 ≥ 2ac ⇒ ac ≤ = = 2(2 + )△ABC面积S = ac ≤ 1 + .所以△ABC面积的最大值为1 + .（18）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1 = AC = CB = AB.（Ⅰ）证明：BC1 //平面A1CD（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值【解】（Ⅰ）设AC1 ∩ A1C = F⇒ BC1 //DF，DF⊆平面A1CD，BC1平面A1CD⇒ BC1 //平面A1CD.（Ⅱ）解法一：由AA1 = AC = CB = AB ⇒ AA1∶BD = AD∶BE⇒Rt△A1AD∽Rt△BDE ⇒ ∠A1DA = ∠BED ⇒∠A1DA +∠BDE = 90o ⇒ED⊥A1D ⇒ CD⊥平面ABB1A1 ⇒ CD⊥DE⇒ED⊥平面A1CD作DG⊥A1C交A1C于G, 则EG⊥A1C，所以∠DGE为所求二面角的平面角.CD⊥平面ABB1A1 ⇒ CD⊥A1D ⇒A1C•DG = CD•A1D设AA1 = 2a ⇒A1C = 2a，CD = a，A。