中国古代数学(1-2).ppt

数学史是研究数学发展规律的科学,,,,第四章 中国古代数学,,历史回顾： 距今约一万年前，我国进入新石器时代，公元前21（距今四千多年）世纪出现夏朝约500年后由商朝代替公元前1200年建立周朝，公元771年的周朝成为西周，以后进入春秋时代我们介绍的萌芽时期就是从上古到春秋战国时期 中国古代数学的萌芽时期（上古到春秋战国时期 ）,,（一）旧石器时代没有留下数学资料,（二）新石器时代（约一万多年前）的数学知识 （1）最早的数目观念：从一和多到二、三等等 （2）对几何形状的认识（陶纺轮；平行线，折线，三角形，长方形，圆，菱形，弧等） 对几何工具也有深刻认识，人们创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具据《史记•夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具,一、主要的数学成就（先秦数学）,（三）记数的方法： 1.结绳和刻划 《易.系辞下》：“事大，大结其绳；事小，小结其绳结之多少，随之众寡 甲骨文中的数目字甲骨文中最大的数目字当时已经达到“三万”一、主要的数学成就（先秦数学）,2.商代的干支纪年法,在商代的记数法中还有一种六十循环的办法，这就是主要用在历法上的所谓“天干地支” 天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸； 地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。

从干、支的头一个字甲、子开始，依次各取一个，配成甲子、乙丑、丙寅、……干或支取完了接着循环再取，直到癸亥，共取60次以后，又是出现甲子一个循环51 41 31 21 52 42 32 22 13 53 43 33 23 14 54 44 34 24 25 15 55 45 35 26 16 56 46 36 37 27 17 57 47 38 28 18 58 48 49 39 29 19 59 50 40 30 20 60,天干地支: 60周期,在中国的历史上，商代的帝王除去第一帝“汤”之外，其余各帝王的名字中第二个字都是十干中的某一个“干”字。

如盘寅、武丁、祖甲、太丁、帝乙、帝辛（殷纣王）等在甲骨文中有大量的干支表，这些干支表尽管都有些残损，但从排列上看，全是由上到下竖行排列，而且都是甲起头，10对一行，排列整齐，说明商代人已有了序数的概念思考：2013年癸巳年，2014年是（ ）年？,2.商代的干支纪年法,3.算筹记数法和十进位值制,春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的 四）乘法口诀： 从出土的文物来看，春秋战国时期的文献中已有乘法口诀次序与现代不同，由“九九八十一”开始因此又称乘法口诀或乘法表为“九九”，这种次序流行了一千六、七百年，直到南宋初才改为现今的顺序一、主要的数学成就（先秦数学）,（五）周易的八卦和64卦： 《周易》是我国古代专讲卜筮（bu’shi）的书，约成书于殷商时期 ,包含数学内容最丰富的著作《易经》中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用“—”与“－－”表示阳爻和阴爻,构成八卦、六十四别卦《周易》由《易经》和《易传》两部分组成自汉代开始，许多算学家都热衷于将算法与《周易》相联系 刘徽在《九章算术注》的序中就写道：“昔在包牺氏（伏羲）始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。

作九九之术，以合六爻之变一、主要的数学成就（先秦数学）,（六）名家的思辨： 战国时期的诸子百家的名家，把“大一“定义为“至大无外”，“小一”定义为“至小无内” 还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题这是世界数学史早期极限的数学思想之一一、主要的数学成就（先秦数学）,（七）《墨经》中的几何学： 墨家的代表作《墨经》记载了许多几何概念： （1）“平，同高也”这是“平”的定义，可能是指平行线 （2）“直，叁也”这是直线的定义，“叁”就是“三”，是说三个点共线的问题 （3）“中，同长也”．这是线段中点的定义 （4）“圆，一中同长也”这是关于圆的定义 此外《墨经》还有关于点、线、面、体的说明，以及它们之间的关系一、主要的数学成就（先秦数学）,,从春秋战国时代起，数学在中国经过漫长岁月的发展，到西汉末年出现了数学专著《九章算术》 ，它的成书标志着我国传统数学理论体系——初等数学理论体系的形成中国初等数学理论体系的形成时期 （春秋战国时代到西汉末年）,,比九章算术稍早且流传下来的一部重要的著作，严格的讲，它不是一本数学专著，是一部天文学专著，但是它包含了相当深刻的数学内容一）《周髀算经》,中国初等数学理论体系的形成时期 （春秋战国时代到西汉末年）,,（1）复杂的分数乘除运算； （2）计算太阳远近，用勾股定理； （3）测量太阳的高、远。

关于勾股定理的证明最早是由三国时期的赵爽给出的，他是中国历史上首次对《周髀算经》进行认真研究和注释的学者 “勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即为弦即a2+b2=c2《周髀算经》书影,,（二）《九章算术》,中国初等数学理论体系的形成时期 （春秋战国时代到西汉末年）,,西汉年间，中国有了专门的数学著作：《许商算术》、《杜忠算术》、《算数书》和《九章算术》，其中前两部著作早已失传《算数书》在1984年从湖北张家山古墓中发掘出土的据考证，《算数书》是公元前206年－前179年的一部数学著作，它以实际应用问题的形式编纂 《九章算术》是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本武英殿聚珍版丛书《九章算术》书影,宋刻本《九章算术》书影,,《九章算术》主要内容,第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积） 第二章粟米（粮食交易的计算方法） 第三章衰分（ cui,比例分配） 第四章少广（开平方与开立方） 第五章商功（体积计算） 第六章均输（运输中的均匀负担） 第七章盈不足（盈亏类问题计算） 第八章方程（一次方程组解法与正负数） 第九章勾股（勾股定理的应用） 书中收集了246个应用问题的解法.全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出“术”。

全书共有202个“术”术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据.,,《九章算术》主要特点,（1）采用按类分章的数学问题集的形式； （2）算式都是从筹算记数法发展起来的； （3）以算术、代数为主，很少涉及图形性质； （4）重视应用，缺乏理论阐述等《九章算术》主要成就,《九章算术》取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等三）刘徽成就,中国初等数学理论体系的形成时期 （春秋战国时代到西汉末年）,,1.几何方面的成就 出入相补原理（割补法、以盈补虚法） 割圆术：推导圆面积，周长，或圆周率； “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣” 截割原理:推导体积 2.代数方面的成就：开方理论、方程理论、级数理论（等差；等比） 3.算术方面的成就：数系方面的贡献（正负数，无理数）、 比率方面的贡献、整勾股数的贡献.,,中国初等数学理论体系的形成时期 （春秋战国时代到西汉末年）,,刘徽的地位： 吴文俊：“从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论”。

梅荣照：“刘徽是整个中国古代数学理论的奠基人” 定位：如果按成就和创造性的大小来论，刘徽在中国的数学家中首推第一，另一位可以和他相提并论的是祖冲之四）祖冲之与祖暅父子,中国初等数学理论体系的形成时期 （春秋战国时代到西汉末年）,,33岁时，祖冲之编制《大明历》，在祖冲之去世后的第10年，这部历法得以正式颁布祖冲之作为地方官员，在发展辖区经济的过程中，亲自设计了各种机械，如指南车、快船他还通晓音律，是位多才多艺的科学家祖氏父子数学成就：,在数学研究方面，密率（即祖冲之求得的π率）是当时最好的结果，早于西方同样的发现近千年祖氏父子对球体积公式的精确推导，完成了刘徽未完成的工作，创立的“祖暅原理”和方法具有很强的理论意义在今日的中学教材中，“祖暅原理”仍是各种体积公式证明的基本原理令人遗憾的是，祖冲之的著作《缀术》早已失传，其成就只散见于古代的典籍之中祖氏父子数学成就：,据《随书•律历志》记载，祖冲之求得的π值的取值范围为3.141592 π3.1415927 由于史料中没有祖冲之推算这个值的记载，后人只能对其推导过程做出推测，一般认为它是利用刘徽的割圆术得到的然而要想用此法得到上述结果，需要从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至24 576边形。

这在当时的条件下是不易做到的祖氏父子数学成就：,直到16世纪，德国人奥托与荷兰人安托尼兹又重新推演出祖率为了纪念祖冲之这一贡献，20世纪的日本天文学家将自己发现的一颗行星以祖冲之命名从东汉以来的四百多年中，有关球体体积的计算公式，经过张衡、刘徽等人的不懈研究，最后由祖氏父子推出，成为中国数学史上的一件大事一）勾股章:定理的证明,四、相关问题研究,（一）勾股章:定理的证明,四、相关问题研究,国际数学家大会会徽,（二）割圆术,四、相关问题研究,（二）割圆术,四、相关问题研究,（三）球体积的推导,四、相关问题研究,V球 : V牟合方盖 = π: 4,V牟合方盖 = V立方 — V阳马= r3 — r3 = r3,V球 = V牟合方盖 =,（四）盈不足,四、相关问题研究,“盈不足”章第1题：今有共买物，人出八盈三；人出七不足四问人数、物价各几何？,四、相关问题研究,小学数学中的盈不足问题： (1) 某校安排学生宿舍,如果每间5人,则有14人没有床位;如果每间7人,则多4个床位.该校有宿舍间,学生__人. (2) 把一包糖果分给小朋友们,如果每人分10粒,正好分完;如果每人分16粒,则3人分不到,这包糖有___粒. （3）箱子里有若干只袜子,如果每次取7只,则剩下6只,如果每次取9只,则差8只.箱子里___只袜子（4）某校学生参加劳动,分成若干组,如果10人一组,正好分完,如果12人一组,差10人.参加劳动的有__人.,作业（任选一题） 1.在春秋战国时期产生了那些重要的可与古希腊媲美的数学思想，试将他们做一下比较。

2.《九章算术》主要内容有哪些，其具有世界意义的成就又有哪些？ 3.刘徽的《九章算术注》对于中国传统数学的形式具有十分重要的意义，试阐述他的主要数学成就？,宋元数学四大家: 秦九韶，李冶，杨辉，朱世杰,贾宪、刘益、沈括等都作出了重要贡献 “四大家”的成就是以他们的成就为基础的所以，四大家的成就代表的是当时中华民族所达到的科学文化水平秦九韶(南宋, 1202-1261),1.秦九韶 南宋末年,生于四川安岳，曾在湖北、江苏等地做官，虽仕途坎坷，在数学研究上却是成就卓著其代表著作是《数学九章》. 在这本书中提出了“大衍求一术（中国剩余定理）”和“正负开方术”（即以增乘开方法求高次方程正根的方法），是非凡的数学创造《孙子算经》中的“物不数”：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？,,,,,（1）式×2+（2）式×3+（3）式×2=233.正表示233是满足条件的一个解，为了求满足条件的最小解， 233-3×5×7=233-105=128. 233-2×3×。