2021年中考数学综合题冲刺22 因动点产生的直角三角形问题（基础）（含答案及解析）.pdf

专题2 2 因动点产生的直角三角形问题(基础)1 .已知，A(1,-4),B(3,0),)，轴上存在点Q,使是以A 8为直角边的直角三角形，求点Q的坐标.【分析】设 点Q的 坐 标(0,而，根据两点间的距离公苗得到AB2=(1-3)2+.(-*4-0)2=2 0,AQ?-=(1 -0)2+(-4-w)2=/+8,+1 7,BQ：=(3-0)2+(0 -?)2,根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】解：设点的 坐 标(0,7),VA(1,-4),B(3,0),.AB2=(1 -3)2+(-4 -0)?=2 0,A三(1 -0)2+(-4 -w)2=m2+S m+l1 BQ?=(3 -0)2+(0-m)2,.A8 Q是以入厅右直角边 的:直角二角形：当AQ 为斜边时，A B +A B2,f.f,f.即用2+8/+7=(3-0)2+(o-m)2+2 0,解得：m=当 8 Q 为斜边时,3Q2=AB2+AO2,:,*.、/.(3 -0)2+(0-/n)2=/n2+8 m+1 7+2 0,解得：?=-1 t,3 7.,.点Q的坐标为(0,-)或(0,-力.【&平】本题考查J二两点间的足离公式，勾股定理，熟练%：握勾股定理的逆定理是正题的关键.一2 .已知抛物线C”丫=-/+法+。

经 过(-1,-6),(2,0)两点(1)求抛物线解析式；(2)将抛物线向上平移6单位得到抛物线C2,若抛物线C2与y轴交于点B,与x轴交于点C,D(C在左边)，且点A(m,w+1)在C2上，连接B D,求点A关于直线B 对称点A 的坐标；(3)在抛物线C2上是否存在点P,使 P BD是以B D为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由.【分析】3)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据图象向上平移加，可得新抛物线，根据自变量与函数值的对应关系，可得8、点坐标，根据对称点的中点在对称轴的直线上，对称点的假线的一次项系数与对称轴的一次项的系数互为负倒教，可蒋方程组，根福福方程组，可得答案：（3）根据互相垂直的两直线二次项的系数互为负倒数，可得尸8的解析式，根据解疗程组，可得尸点坐 标.?*【解答】解:Y 1).将(-1,-.6),(2,0)代入函数解析式，得(1-b +c =-6l 4 +2 b +c =0：:、.解.得 忆 抛物线的解析式为y=-7+3X-2；(2)将抛物线向上平移6单位得到抛物线Q,得y=-X2+3X+4,当 时，yj4,BP B(0,4%.当 y=0 时，-x2q 3 x+4=0.解得1=4,1,E P C(-1,0),D(4,0).J L r的解析式为y=-x+4,设 A (x,y),由题意得I)-x-m-1)1=一 等+4,解得二 黑；，.即 A，(-t n+3-m+4).*S.耳 ，；1(3)当P B L B D时，设 PQ的解析式为y=x+b,将B点坐标代入，得 -*,*uf _ .Vr f,T f _b=4,P D的解析式为j=x+4,联立P D与抛物线y7-d+3 1 也，得尸+2,二,”（y=+3 x 4-4解得x=0 （不符合题意，舍“冗=-2,当 x2 时，y -4+6+4=6,即 P（2,，6）；当尸力，8。

时，设尸的解析式为y=x+%,将点坐标代入，得14,尸 ）的解析式为乂=x-4,*J L *,联 立P D与抛物线y=-/+3 x+4,y=x -4y x2+3%+4触得x=4 （不符合题意，A）,x=-2,当 x=-2 时，y=-4-6+4=-6,即 P (-2,-6).，-，CJL综上所述：在抛物线C2上存在点P,使PBO是 以 8 0 为直角边的直嘴三角形，点/，的 坐 标(2,6),(-2,-6).【点评】本题芟查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用对称点的中点在对称轴的直线上，对称点的直线的一次项系数与对称轴的一 次项的系数互为负倒数得出方程组是解题关键；利用互.相垂直的两直线一茨质的素数互为负倒数得出团的福析式是解题关键，,分 类 讨论，以防遗漏，.3.如图，在平面直角坐标系中，OA=O B=O C=6,点 G 的线段0B 上的一个动点，连接AG并延长BC于点 D.1(1)当点G 运动到何处时ABO的面积为AABC面积的一；3(2)在(1)的条件下，过点8 作 B ELA D,交 AC于.垂足为E,求点尸的坐标；(3)在(1)和(2)的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点尸，使A B F P 为以边B F 为直角边浦等腰直角三角形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)作于4,由 O A=O B=O C=6,就可以得出NAC8=45,由三角形的面积公式就 可 以 求 出 的 值/就 可 以 求 出 CH，的值，从需求出。

的坐标;.(2)根据04三8,再根据直角=角形的性质就可以得出AOG匕A S凡就可以得出OF：OG；由4AOGS/XA”就可以得出0G的值，就可以求出尸的坐标.*-(3)根据条件宿中图形图1,作手H,P M L0C 于 M,由PH5丝 就 可 以 得 出 塞 论，展 I 2,作 P_LOC、手，由埔可以得结论，图 3,而 P)_L08于 H,由8 0 f *尸8就W以 得 出 结 论.f-,，作LAC 于，ZAHD=ZCHD=90/：OA=O B=O C=6J：.AC=2,1.SXABC=O X6X 12=36,z *，A 1,/A B D的面积为ABC面积的:.,，、32A A A CD的面积为d C面积的i2 1J-X36=4X12DH,3 2.：.DH=4,：OC=OB,B C O=/O B C”：ZBOC=90,fy j/BCO=N O BC=45,/H D C=45，、：.Z H D C=Z D C H r/.DH=CH.：.CH=4,：0H=2,：.D(2,4)；*.V(2),：BEV AD,_.：.ZBEG=ZAEE=90,.：4AOB=NBOF=9U0,；./B 0 尸=/A EF=9 0.NAFB+N用G=90,ZAFB+ZOBF=)Qa,.:.ZFAG=OBF.“/6 W*yF/一(4 0 G =NB。

尸.在AOG 和3QF 中,0A=0B,(4 4G=(OBF:A A O G m 4 B 0 F (ASA),：.OF=OG；V ZAOG=ZA/7D=90,OG/DH,，AOG.AAHD,AO OGAH 一 DH6 OG一8 一 4，0G=3.；.0F=3.：.F(3,0)作 PHL OB 于 FT,PACL 0c 于 M:.NPHB=NPHO士 NPM=NPMC=9Q；口,：-ZBOC=90Q,四边形OMPH是矩形,NHPM=900”：.ZHPF+ZMPF=)；NBPF=90,*X:.NBPH+NHPF=90:,:NBPH=NFPM./BPH=ZFPM在和中Z.BHP=AFMP-VIBP=FPM P H B学/PMF(AAS),：.BH=FM.HP=PM,矩形”PM是正方形,:.HO=M0=HP=PM.V CO=OB,：.B 0-OH=OC-OM,：.BH=MC,：.FM=MC.V 0F=3,：FB=3,，下M=2,z.0M=2.：.P M=2,.：.P(2,2)；二.一图 3,当N A/P=goPFk BF 时,PHLOC T Ht:/PFH+/FPH=9U,：ZOFB=ZHPF.：ZBOF=90Q,工/B O F=NFH P.1(ZBOF=ZFHP 在ABO F和尸中J乙OFB =乙HPF，XBF=FP，：./B O F A P H F (AAS),：OF=HP,B=FH,:HP=3,F H=6,.OH=9,：.P(9,3)：图 4,当 NFBP=90,PB=BF 时,作 PH LOB 于 H,:/BHP=9 0 ,N HBP+N HPB=9 0 .V Z F B P=9 0：,：.ZHBP+ZOBF=9 0 ,：.A O B F=Z H B P.,:N F O B=9 0。

/F O B=N B H P：J r.:7 U，J，/O B F =N H B P在B/7 和ZXPHB 中，z_FOB=乙BHP，、BF=PB:./X BOFQAPHB(AAS),O F=H Bf OB=HP,HC=3,HP=6,.“9,：.P(6,9),：.P(6,9),3),(2,2).【评】此题是三角形综合题:主要考查了坐标与图象的:性质的运用，.等腰直角三片形的性质的运肋三角形的面积公式的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时求三角形全等是关键.？、4.如图，菱形力BC 的边BC在 x 轴上，点 A,在第一象限，线段AB交)，轴 于 E,且E为 4 B 的中点，点 M 为 AC和 8的交点，连接C E,有 CE _LA8,点 4 的坐标为 1,2V3)；(1)求直线CE 的解析式；(2)点P从原点出发，沿 x 轴正方向以每秒1 个单位运动，运动时间为3过 点 尸作P Q 1B C交射线E C于点Q,XB C Q面积为S,求 S与 f 之间的关系式并直接写出/的取值范围：(3)B力上是否存在点凡 使ACE 尸为直角三角形？若存在，请直接写出线段M尸的长；若不存荏，请说明理由.【分析】（1）先求由C、E两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题.一（2）如 图Z中，分两种情形Q）当0 3时，PC=t-3；根据S=8c尸。

即可解决问题.丁 存 在.如 图3中，由 题意直线8的 解 析 式 为 产 茅+冬 设尸（，,（亚苧L+冬，当点尸是RtACEF的邕角顶点时,，C2=CF2+EE2,1列出方程即可解决问题，当F与八重合时，ZXECF是直角三角形，此时MFi=28，当尸与8重合荷，/XECF是直角三角形，此时M F2=26，f f f,【解答】ft?：（1）如 图1中z作AKd_力C于K:,AB=BC=CD=AD,.iL *w*,*.C fV CEAB,EA=EB,：CA=CB=AB,.ABC、ACC是等边三渔形，/VA.(1,2V3),.；.AK=2V5,在 RtZkAKCp,：ZAKC=90a NCAK=4o,；.KC=2,AC=A8=C=4J设直线CE的解析式为y=kx+b则有.BO=OK=J,OE=%K=V3,-J 2 ：.E(0,V3),C(3,0)：b=63k+b=0(.m解得，二一3，(b=V3-.直线CE的解柝式为y=-堂t+6.-3(2)如图2中,当 03 时，P C=f-3,.,.S=BC*PQ=(L 3)=-2/3.综上所述,S=一等 t+2V5萼 匚2ys(0 t 3)(3)存在、理由如下，如图3中,由题意直线BD的解析式为y=苧x+学 设F（m，*专 当点尸是RtZCE F的后角顶点时，C点=C尸+/，32+（V3）2=/+（zw-|-3）2+（？-3）2+（更加+g）之，3 3 3 3。

整理得2m2-5m-1 0,解得m=土 卢 或，4,5+V33 3(y t jpTx (2)存在.当 以C为直角顶点%寸，过点C作CM i,8C,交抛物线于点M i.过点M；作)，轴的垂线，壶足是E：由 E (3,0)、C(0,3),.得8=O C,*J：.ZBCO=ZCBO=45 V Z B CM i=90 ，N M CE+N 8CO=90 .ZM CE=45:、J 1,二 、-f*：.EC=EM.设 M(%?，-F+2Z+3),贝IJ m-AH2+2/H+3-3；*解得：M=0(籥去)，m i=.-/H2+2/W+3=4,即 MI(1,4).当 点 8 为直角顶强时，后 B 作 8M2,8M2反:交施物线于点用2,过点为2作 y 轴的垂线，垂足是日8M2交丁轴于点G,如图 2：，*；”,.，/：ZCBO=45Q,，NOBM2=45,/.GA/2F=45.：.M?F=GF,“设 性(jnf-加2+2%+3),则=(-？+2 2+3)+3,解得：?】=-2,(舍去)，.：.-加 2+2 计 3=-5,即 M2.(-2,；5).综上所。