《风险理论与计算程序》课件—03个体风险模型-.ppt

个体风险模型0-1变量n设在某一定时期内保险人承保份保单，每份保单的赔付变量分别为Xi，i1,2,，则总理赔额为 假定（1）每张保单是否发生理赔以及理赔额大小是相互独立的，互不影响的，即Xi，i1,2,，相互独立的随机变量；（2）每张保单至多发生一次理赔用随机变量I表示理赔发生情况，用qjP(Ij=1)表示第j份保单发生理赔的概率，则第j张保单的实际赔付额Xj可以表示为其中Bj表示在第j次理赔发生条件下的理赔额Bj与Ij分别是独立的随机变量序列，并且Bj与Ij之间相互独立总理赔额S可以表示为例：n人寿保险令nij，i，j1,2,，表示获赔i个单位的赔款，发生理赔的概率为qj的保单个数，则总理赔额为表示获赔i个单位的赔款，发生理赔的概率为qj的理赔额变量一、个体保单赔付额的期望和一、个体保单赔付额的期望和方差方差设qjP(Ij=1),fBj(x)是Bj的分布，ujE(Bj),则Xj的分布是一个混合分布，它的分布函数为n命题命题1 设 ，则证明：首先证明一个非常有用的方差分解公式，即对于任意两个随机变量X和Y，由于因此另外从而由于因此利用有所以由方差分解公式例例1：公司为员工购买意外死亡寿险。

假设对所有人明年的死亡概率为0.01，且30的死亡是由于意外事故发生的75名雇员分属两个保单组，其中中的50人如果是正常死亡，保险人将赔付5万元；如果是意外死亡，保险人将赔付10万元另外25人的赔付额分别为7.5万元和15万元求总赔付额的期望和方差解解：对这75人来说，死亡概率qj0.01根据题意，50名员工的赔付额为另外25名员工的赔付额因此二、独立分布和的卷积二、独立分布和的卷积n对于与相互独立的离散非负随机变量，设它们的分布列分别为和，则SX+Y的分布为 n对于两个相互独立的连续型非负随机变量X和Y，设其分布密度分别为fX和fY，它们的联合密度为fXY，则独立性知 所以，S的分布密度为?n设Xi,i=1,2,为相互独立的随机变量，Xi的分布记为Fi， Sk=X1+Xk的分布函数为记F(k)，则由卷积的定义例例2 设随机变量X1，X2，X3相互独立,它们的分布列分别为用卷积方法求 的分布解解：设f1(x)、f2(x)、f3(x)分别为的分布列，f(1)(x)、f(2)(x)和f(3)(x)为的分布列，利用两项和卷积公式，先计算X1+X2的分布请同学们计算f（2）（3)和f（2）(4)由于，所以S的分布等于的分布f(2)(x)与X3分布f3(x)的卷积，例如请同学们计算f（3）(3).xf1(x)f2(x)f3(x)f(1)(x)f(2)(x)f(3)(x)F1(x)F(2)(x)F(3)(x)00.50.40.50.50.20.10.50.20.110.30.300.30.270.1350.80.470.23520.20.20.30.20.270.19510.740.4330.10.10.170.1860.910.61640.10.070.1630.980.77950.020.11510.89460.06510.95970.0310.98980.00910.99890.00211例例3：设X1与X2独立，且与X的分布函数相同 ，计算 。

解：解：由卷积公式知积分区域为 和 ，即故上式可化为 一定要注意积分区域在个体风险模型中，卷积法适用于计算个体保单理赔额固定的总理赔额的分布假设个体保单的赔付额可以表示为XjIjbj，其中Ij是01变量，bj为理赔发生时的理赔额记则由公式（1）可以计算S的分布如下：例例4：某公司为14名员工购买了一年期团体定期寿险保险公司的精算师选择了如下死亡表来计算该团体的死亡率每个员工按他的工资水平（近似到1000）进行投保具体资料如下表请用卷积法来计算总赔付额的分布员工年龄性别赔付死亡率120男150000.00149223男160000.00142327男200000.00128430男280000.00122531男310000.00123646男180000.00353747男260000.00394849男240000.00484964男600000.021821017女140000.00051122女170000.00051226女190000.000541337女300000.001031455女550000.00479解解：由公式（4）得具体计算的结果为三三 矩母函数法矩母函数法n设X为表示随机变量，定义MX(t)=E(etX)为X的矩母函数，PX(t)=E(tX)为X的母函数。

由于Xi是独立随机变量例例5：设X1,Xn独立同分布，且服从gamma分布，求S X1Xn解解：经计算得到因此S服从gamma分布在个体风险模型中当XjIjbj时，其中Ij是01变量，则由公式可以计算得到S的母函数为当XjIjBj时，类似可以计算S的矩母函数和母函数分别为当XijiIj时，设nij表示获赔i个单位的赔款，发生理赔的概率qj为的保单个数，总理赔额为有兴趣的同学阅读以下部分两边取对数得到两边乘以z其中第二个等式成立要求若令则将上面公式用级数展开，其中左边zx的系数为xfS(x),右边的系数为比较两边的系数得到于是可以递推的计算四、近似计算法四、近似计算法n对于数目较大的保单组合来说，更实用的方法是求出近似分布定理定理 (独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理)设随机变量 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差，则的近似分布为对于独立但不同分布的随机变量和，在一定条件下，中心极限定理同样成立定理定理 (李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理) 设随机变量 相互独立，它们具有数学期望和方差：记若存在正数 d，使得则随机变量的分布函数对任意x有例例6：某保险公司出售了300张火灾险保单。

已知保单分为两类，具体信息如下类别保 单数理赔发生概率期望理赔额12000.051,00021000.012,000假设：（1）在理赔发生的条件下，理赔额服从指数分布2）每张保单至多只发生一次理赔3）理赔的发生与理赔额的大小独立求：（1）计算这300张保单的总理赔额的方差2）假设保险人收取的保费等于，称为安全附加系数，q0.1，用正态近似法计算总理赔额超过保费收入的概率设类别1的个别理赔额为X（1）,则设类别2的个别理赔额为X（2），则设总理赔额为S，则对于类别1：类似可计算（2）用正态分布近似S的分布，其均值和标准差分别为例例4续续：假设保险人收取的保费的安全附加系数为45，请用正态近似计算总理赔额超过保费收入的概率，保费等于145*2054.41=2978.89在例4中这说明两者的偏差很大，请同学们分析原因？。