2025年中考数学复习：圆的计算与证明（解答题）.pdf

第七单元圆的计算与证明一解答题专题一圆和勾股核心考点一构造垂径图，得背靠背型共边双勾股01.如图,OA,OB,OC 都是 30 的半径,N4CB=2乙BAC.(1)求证:ZAOB=2ZBOC;(2)若.AB=4,BC=有，求O 的半径.核心考点二利用直径构造直角02.如图,AB为O 的直径,CB是O 的切线,D 为O 外一点,AD交O 于点E,AB=AD,DC 1 CB,垂足为C.(1)求证:CD=DE-,(2)若 DE=2,BC=6,求 AB 的长.核心考点三利用切线构造直角，设参与共边双勾股03.如图.在Rt 4BC中，ZC=90点 O 在 AC边 上，以 OA为半径的半圆交 AB于 点 D,交 AC于点E.在 BC边上取一点F,连接FD,使得DF=BF.(1)求证:DF为的切线;(2)若 AC=6,8C=4,CF=1 求O 的半径.A OE C专题二圆与全等核心考点一构造8字型全等转边01.如图,AB为圆O 的直径,AE为圆O 的弦,C 为圆O 上一点,AC C E,CD 1 4B,垂足为D.(1)连接CO,判断CO与 AE的位置关系,并证明;若 AE=8,BD=2,求圆O 的半径.02.如图，。

是 ABC的外接圆，弦 BD交 AC于点E,AE=DE,BC=CE,过 点 O 作F，AC于 点 F,延长FO交BE 于点 G.若 DE=3,EG=2.(1)求证:E8C为等边三角形；求 A B的长.核心 考点二对称型全等与导角03如图，在O 中,直径AB垂直弦CD于点E,连接AC,AD,BC,过点C 作(CF 1 4于点F,交线段OB于点G(不与点 O,B 重合),连接OF.若BE=1,求 GE的长；若.FO=FG,猜 想 的 度 数，并证明你的结论.专题三圆与相似核心考点一结合角平分线(或弧的中点)可构造射影型相似01.如图,AB是O 的直径,CD是O 上两点,C 是 皿 的 中 点，过点C 作 AD的垂线,垂足是E.连接AC交 BD于点F.求证:CE是的切线；若 会=跖 求 cosZABD的值.核心考点二切割线与斜射影型相似02.如图,在RtA ABC中，NABC=90O 为 AB边上一点,以O 为圆心,OB长为半径的O 交 AB于点E,交 AC于点D,CB=CD.(1)求证:AC是O 的切线；连 接 DE,若tanEDA=|,D E =2,求线段AD的长.核心考点三斜射影型相似、三角函数转比03.如图,已知D 为O O 上一点，点 C 在直径BA的延长线上,BE与。

O 相切,交CD的延长线于点E,且 BE=DE.证明:CE是的切线；若 AC=4,sinC=/求 BD的长核心考点四旋转型相似04.如图,ABC是O 的内接三角形，AB是0 O 的直径，AC=遮,BC=2迷，点 F 在 AB上.连接CF并延长,交 0 于点D,连接BD,作BE 1 CD,垂足为E.求证:DBE ABC;若 AF=2,求 ED的长.核心考点五连弧的中点与圆心构A、X”型相似05.如 图，AB为O 的直径，弦 DC的延长线交AB的延长线于点E,乙 BDC+24ABD=90.求 证:丽=CD;若 AC=4V2,tanABD=争 求 BE的长.核心考点六导角证相似06.如图,以 ABC的边AC为直径作O,交 BC边于点D,过点C 作（CE|4B交O O 于点E,连接AD,DE,ZB=ZADE.(1)求证:AC=BC;(2)若 tanB=2,CD=3,求 AB 和 DE 的长.B DC专题四圆和三角函数核心考点一遇弦作垂，得直角和线段中点01.如图，在O 中，弦 AB的长为8,点 C 在 BO延长线上，且COSAABC=三,=”B.(1)求O 的半径；(2)求 tanZBAC.核心考点二连切点构直角，含直角的斜A 相似与三角函数转比，设参求解02.如图,在4 ABC中，ZACB=90,D 是 AB上一点,且乙BCD=点 O 在 BC上，以点O 为圆心的圆经过C,D两点.求证:AB是。

的切线；若 sinB=|,O O 的半径为3,求 AC的长.核心考点三作直径构直角，三角函数转比03.如图,Rt 40B中，N90以 OA为半径作O,BC切O O 于点C,连接AC交 OB于点P.(1)求证:BP=BC;若sinPAO=1，且 PC=7,求O 的半径.BO专题五直径的构造核心考点一直接利用直径01.如图,AB是O 的直径,C 是O 上一点,ZACB的平分线交AB于 E,交O 于 D,连接AD,BD.(1)求证:AD=BD;若 AB=6,4C=2V3,求益的值.核心考点二连线利用直径02.如图，半径为2,弦 BC=3,A 是弦BC所对优弧上的一个点,连接CO并延长交0 点 M,连接AM,过点B 作BEAC,垂足为E.(1)求证:BE/7AM;过点A 作 AD1BC,分别交BE,BC于点H,D,求 AH的长.核心考点三延长直径构直角03.如图,是 ABC的外接圆,AB=AC,CD 1 AB于点D,BO的延长线交CD于点E.(1)求证:Z.DBE=乙BCD;(2)若 BC=4Vx BE=4,求 OE 的长.专题六垂径图核心考点一构造直径转化角并得直角三角形，求三角函数值01.如图，O O 的直径人8，弦 CD,垂足为点E,点 P 在优弧CAD上（不包含点C 和 点 D）,连 PC,PD,CB,tanzBCD_ 1-2(1)求证:AE=CD;(2)求 sinZCPD.核心考点二构造直径转化角并得直角三角形，求三角函数值02.如图,AB是。

O 直径，弦（CD 1 4B于点E,过点C 作CF 1 D B 交AB的延长线于点G,垂足为F,连接AC.(1)求证:AC=CG;若 CD=EG=8,求 GF的长.核心考点三导角或构造直径转化角，求三角函数值03.如图,在 28C中,AD 1 BC于 D,点在 AD上,O O 与 AC,BC分别交于点E,F,连 BE.(1)求证:NABE=ZXC5;(2)若 tanABE=-,BC=3CF,求 tcm/EBC 的值.4专题七弧的中点01.如图,在0 O 中,AB为直径.EF为弦,连接AF,BE交于点P,且 F 为 在 的 中 点(1)求证:FBPAFAB;若 tan/BEF=|,求 sin Z ABE 的值.02.如图,A ABC内接于O,AB=AC,BD为O 的直径,过点A 作1 于点E,延长BD交 AC延长线于点F.若 AE=4,AB=5,求0 O 的半径；A(2)若 BD=2DF,求 sinZACB 的值./r03.如图,ABC内接于0O ,ABAC=6(F,D,E 分 别 为 通 和 女 的 中 点，连接DE.(1)求证:BC=DE;若tanZ.ADE=/求 s讥乙4ED的值.专题八阿基米德折弦图方 法：等腰三角形(弧的中点)结合同弧对的圆周角相等，利用一边一角等作垂或截长补短构全等.图中隐藏了角平分 线，故也可构造对称型全等处理.核心考点一顶角为90。

的等腰三角形与全等构造01.如图,AB是半圆O 的直径,C 是 砂 的 中 点，过点C 作弦BD的垂线，垂足为E.求证:CE=DE;若 AD=DE=1,求 AB的长.核心考点二顶角为60的等腰三角形与全等构造02如图，点 A,P,B,C 是O 上的四个点,APC=CPB=60判 断 ABC的形状，并证明；(2)若 CP=6,BC=2夕,求 S4PB.核心考点三顶角为普通角的等腰三角形与全等构造03.如图,四边形ABCD内接于O,AC 1 BD,垂足为E,AB=AC.(1)求证:ABAC=2 AC AD;(2)若的半径为5,sinCAD=|,求BE-DE的值.专题九婆罗摩笈多01.如图,AB,CD是半径为5 的O 的两条弦,且AB LC D 于点G,点 E 是 AC的 中 点 连 接 EG并延长交BD于点F.(1)求证:GFXBD;若 冠1=BD,BG=7,求 EF的长.02.如图,AB为O 的直径,弦CD与 AB相交于点E,DE=EC,过点B 的切线与AD的延长线交于点F,过 点 E 作EGLBC交 BC于点G,延长GE交 AD于点H.(1)求证:AH=HD;(2)若 coszC=|,D F =9,求。

的半径.03如图,AB,CD是O 的两条弦,AB=CD,AB 1 CD,垂足为点M,点 N 为 AD的中点，延长NM交 CB于点H,若HN=8,A MBC的面积为 15,MN MH 则 AD 为()A.6 近 B.5V2C.10 D.9专题十切割线与角平分线核心考点一作直径构直角，三角函数转比01.如图,AB是O 的直径.点E,C 在O 上，点 C 是 BE的中点,AE垂直于过点C 的直线DC,垂足为D,AB的延长线交直线DC于点F.求证:DC是的切线；若 AE=2,sinAFD=*求O 的半径；求线段DE的长.核心考点二勾股与相似结合（或构造矩形）02.如图,AB为O 的直径,E 为O O 上一点，点 C 为 既 的 中 点，过点C 作（CD 1 AE,交AE的延长线于点D,延长DC交 AB的延长线于点F.求证:CD是O 的切线；若 DE=1,DC=2,求O 的半径长.核心考点三结合角平分线可构造斜射影型相似03.如图,RtA ABC中,NC=90为 AB上 一 点 以 O 为圆心,O A 为半径的与 BC相切于点D.(1)求证:AD平分.NB4C;连 接 DE,若.AB=2BD,求 cos/CDE的值.CDB专题十一圆与等腰三角形核心考点一圆心在三线上01.如图，。

是 ABC的外接圆,AB=AC,BO的延长线交AC于点D.求证:NB4C=2乙ABD;若 蔡=|,求tan/ABD.核心考点二腰过圆心02如图,已知 4BC,以 AB为直径的O 交 BC于 点 D,DE是O 的切线，且.DE 1 AC,垂足为E,延长C A 交0 于点 F.求证:AB=AC-,若 AE=3,DE=6,求 AF的长.核心考点三底过圆心 含特殊角的等腰三角形与构造直径03 如图,ABC中，AB=AC=43,ABAC=1 2 0点 O 在 BC 上,0O 过点 A 和点 B.求证:CA是的切线；点 D 是圆周上一点,AADC=90求 AD的长.专题十二圆与平行四边形核心考点一利用平行转化角01.如图，已知AB是半圆O 的直径，C 是半圆弧上一点，P 是 BC的中点，PD|BC交 AB延长线于点D.(1)求证:PD为O 的切线;若 AB=10,cos/刍求PC的值.A O B D核心考点二作直径构直角02.如图，O O 经过平行四边形4BCD的顶点A,D,C,边 AB与O 相切于点A,边 BC与O 相交于点H.(1)求证:AB=AH;若 AB=2,4VT7,求 sinZBAH 的值.核心考点三平行四边形与相似03.如图,平行四边形ABCD中、过 A,B,C 三点的。

O 交 AD于 E 点 O O 与 CD相切于C 点(1)求证:AC=AD;(2)若 AB=4,BE=5,求 DE 的长.专题十三圆和矩形核心考点一直接矩形的性质01.如图,过矩形ABCD顶点A,B 的与 CD相切于点E,与 AD,BC分别相交于点G,H,连接EH,AH.(1)求证:EH平分/AHC;若 AB=6,BH=8,求 EH的长.核心考点二切割图中弦切角、圆心角的转化02.如图,O O 与矩形ABCD的 BC边相切于点M,且经过CD边上的点N,C M =CN.(1)求证:CD与O 相切；(2)O 与 AB交于点E,连接EM.若 tanNEMB=j,O O 的半径为5,求 AD的长.核心考点三构造矩形03.如图,在 ABC中，AB=AC,以 AC为直径作O 交 BC于点D,过点D 作DE 1AB,垂足为E,延长BA交O于点F.求证:DE是的切线；若 黑=|,4=13,求 AF的长.DE 3专题十四圆与菱形01.如图，O O 过菱形ABCD的顶点B,D,且与AB相切。