高考全国甲卷：《理科数学》2019年考试真题与答案解析.pdf

高考精品文档 高考全国甲卷高考全国甲卷 理科数学理科数学20201919 年考试真题与答案解析年考试真题与答案解析 同卷地区 贵州省、四川省、云南省 西藏自治区、广西自治区 -1-高考全国甲卷：理科数学高考全国甲卷：理科数学20201919 年考试真题与答案解析年考试真题与答案解析 一、选择题一、选择题 本题共本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合2 1,0,1,2|1ABx x，则AB（）A1,0,1 B0,1 C1,1 D0,1,2 答案：A 2若(1 i)2iz，则 z=（）A1i B1+i C1 i D1+i 答案：D 3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过-2-西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 答案：C 4(1+2x2)(1+x)4的展开式中 x3的系数为（）A12 B16 C20 D24 答案：A 5已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=（）A16 B8 C4 D2 答案：C 6已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则（）Ae1ab，-3-Ba=e，b=1 C1e1ab，D1ea，1b 答案：D 7函数3222xxxy在6,6的图像大致为（）A B C D 答案：B-4-8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则（）ABM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 答案：B 9执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出 S 的值等于（）A4122 B5122-5-C6122 D7122 答案：C 10双曲线 C：2242xy=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=POPF，则PFO 的面积为（）A3 24 B3 22 C2 2 D3 2 答案：A 11设 f x是定义域为 R R 的偶函数，且在0,+单调递减，则（）Af(log314)f(322)f(232)Bf(log314)f(232)f(322)Cf(322)f(232)f(log314)Df(232)f(322)f(log314)答案：C-6-12设函数 f x=sin（5x）(0)，已知 f x在0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论：f x在（0,2）有且仅有 3 个极大值点 f x在（0,2）有且仅有 2 个极小值点 f x在（0,10）单调递增 的取值范围是12 295 10，)其中所有正确结论的编号是（）A B C D 答案：D 二、填空题二、填空题 本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。

分13已知 a a，b b 为单位向量，且 a ab b=0，若25cab，则cos,a c_答案：23 14记 Sn为等差数列an的前 n 项和，12103aaa，则105SS_答案：4-7-15设12FF，为椭圆 C：22+13620 xy的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若12MFF为等腰三角形，则 M 的坐标为_答案：(3,15)16 学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABC D挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D 打印所用原料密度为 0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g答案：118.8 三、解答题三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 17211721 题为必考题题为必考题，每题，每题 1 12 2 分分，每个试题考，每个试题考生都必须作答生都必须作答第第 2222、2323 题为选考题题为选考题，每题，每题 1 10 0 分分，考生根据要求作答，考生根据要求作答。

一）必考题（一）必考题 17为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体-8-内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70 1求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；2分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）答案：1由已知得 0.70=a+0.20+0.15 故 a=0.35，b=10.050.150.70=0.102甲离子残留百分比的平均值的估计值为：20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为：30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.0018ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsin2ACabA。

1求 B；2若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围9-答案：1由题设及正弦定理得sinsinsinsin2ACABA 因为 sinA0，所以sinsin2ACB 由180ABC 可得sincos22ACB 故cos2sincos222BBB 因为cos02B，故1sin22B 因此 B=602由题设及1知ABC 的面积34ABCSa 由正弦定理得sin 120sin31sinsin2tan2CcAaCCC 由于ABC 为锐角三角形 故 0A90，0C90 由1知 A+C=120，所以 30C0，则当(,0),3ax 时，()0fx 当0,3ax时，()0fx 故()f x在(,0),3a单调递增，在0,3a单调递减 若 a=0，()f x在(,)单调递增 若 a0，则当,(0,)3ax 时()0fx；当,03ax时，()0fx 故()f x在,(0,)3a单调递增，在,03a单调递减2满足题设条件的 a，b 存在 i当 a0 时 由1知，()f x在0，1单调递增 所以()f x在区间0，l的最小值为(0)=fb，最大值为(1)2fab 此时 a，b 满足题设条件当且仅当1b，21ab 即 a=0，1b-13-ii当 a3 时 由1知，()f x在0，1单调递减 所以()f x在区间0，1的最大值为(0)=fb，最小值为(1)2fab 此时 a，b 满足题设条件当且仅当21ab ，b=1 即 a=4，b=1。

iii当 0a3 时 由1知，()f x在0，1的最小值为3327aafb，最大值为 b 或2 ab 若3127ab，b=1 则33 2a，与 0a3 矛盾 若3127ab，21ab 则3 3a 或3 3a 或 a=0，与 0a3 矛盾 综上，当且仅当 a=0，1b或 a=4，b=1 时()f x在0，1的最小值为-1，最大值为 121已知曲线 C：y=22x，D 为直线 y=12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B1证明：直线 AB 过定点：2若以 E(0，52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积14-答案：1设111,2D tA x y，则2112xy 由于yx 所以切线 DA 的斜率为1x 故11112yxxt 整理得1122+1=0.txy 设22,B x y，同理可得2222+1=0txy 故直线 AB 的方程为2210txy所以直线 AB 过定点1(0,)22由1得直线 AB 的方程为12ytx.由2122ytxxy 可得2210 xtx.于是2121 212122,1,121xxtx xyyt xxt，222212121 2|11421ABtxxtxxx xt.设12,d d分别为点 D，E 到直线 AB 的距离 则212221,1dtdt-15-因此，四边形 ADBE 的面积22121|312SABddtt 设 M 为线段 AB 的中点，则21,2M t t 由于EMAB，而2,2EMt t，AB与向量(1,)t平行，所以220ttt 解得 t=0 或1t 当t=0 时，S=3 当1t 时，4 2S 因此四边形 ADBE 的面积为 3 或4 2。

二）选考题（二）选考题 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程 如图，在极坐标系 Ox 中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧 AB，弧 BC，弧 CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧 AB，曲线2M是弧 BC，曲线3M是弧CD1分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；2曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在 M 上，且|3OP，求 P 的极坐标.-16-答案：1由题设可得，弧 AB、弧 BC 和弧 CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos所以1M的极坐标方程为2cos04 2M的极坐标方程为32sin44 3M的极坐标方程为32cos4 2设(,)P，由题设及1知 若04，则2cos3，解得6 若344，则2sin3，解得3或23 若34，则2cos3，解得56 综上，P 的极坐标为3,6或3,3或23,3或53,623选修 45：不等式选讲 设,x y zR，且1xyz1求222(1)(1)(1)xyz的最小值；2若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a。

17-答案：1由于2(1)(1)(1)xyz 222(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx 2223(1)(1)(1)xyz 故由已知得2224(1)(1)(1)3xyz 当且仅当x=53，y=13，13z 时等号成立 所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为432由于2(2)(1)()xyza 222(2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzaza x 2223(2)(1)()xyza，故由已知2222(2)(2)(1)()3axyza 当且仅当43ax，13ay，223az时等号成立 因此222(2)(1)()xyza的最小值为2(2)3a 由题设知2(2)133a 解得3a或1a。