电大教育专科【高等数学（B）】形成性考核册答案(完整版附题目).doc

电大【高等数学（B）】形成性考核册答案 电大【高等数学（B）】形考作业1答案：初等数学知识一、名词解释：邻域——设是两个实数，且，满足不等式的实数的全体，称为点的邻域绝对值——数轴上表示数的点到原点之间的距离称为数的绝对值区间——数轴上的一段实数分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线实数——有理数和无理数统称为实数二、填空题1．绝对值的性质有、、、、、2．开区间的表示有、3．闭区间的表示有、4．无穷大的记号为5．表示全体实数，或记为6．表示小于的实数，或记为7．表示大于的实数，或记为8．去心邻域是指的全体用数轴表示即为9.MANZU 9．满足不等式的数用区间可表示为三、回答题1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变2．答：包括整数与分数3．答：不对，可能有无理数4．答：等价于5．答：四、计算题1．解：2．解： 3．解：为方程的解函 数（P3）一、名词解释函数——设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时，变量y通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数。

其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G={y|y=f(x),x}叫做函数的值域奇函数——若函数的定义域关于原点对称，若对于任意的，恒有为奇函数偶函数——若函数的定义域关于原点对称，若对于任意的，恒有，则称函数为偶函数定义域——自变量的取值范围，记作值域——所有函数值组成的集合，记作G={y|y=f(x),x}初等数学——包括几何与代数，基本上是常量的数学三角函数：称为三角函数指数函数——称函数为指数函数复合函数——设若的值域包含在的定义域中，则通过构成的函数，记作，称其为复合函数，称为中间变量对数函数——称函数为对数函数反函数——若函数的值域为，若，都有一个确定的且满足的值与之对应则由此得到一个定义在上的以为自变量、为因变量的新函数，称它为的反函数，记作幂函数——称函数（为实数）为幂函数常函数——称函数为常函数常量——在某一变化过程中，始终保持不变的量变量——在某一变化过程中，可以取不同数值的量二、填空题1．函数概念最早是由莱布尼兹引进的有了函数概念，人们就可以从数量上描述运动2．在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克雷，并给出了一个不能画出图形的函数这就是著名的狄里克雷函数，其表达式是。

3．函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法4．函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则5．单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时，与之对应的函数值是唯一的函数6．奇函数的图像特点是关于原点对称，偶函数的图像特点是关于y轴对称7．单调函数的图像特点是总是上升或总是下降8．反函数的图像特点是关于直线y=x对称三、回答题1．答：设函数在集合上有定义，如果存在一个正数，对所有的，恒有，则称函数为有界函数2．答：（1）当一个函数在区间有界时，正数的取法不是唯一的2）有界性是依赖于区间的3．答：，则称函数在区间单调增加否则，称为单调减少4．答：若函数在区间单调，其值域是，则函数存在反函数其定义域是，值域是四、作图题（1） 解：是抛物线2） 解：是立方抛物线3） 解：是正弦曲线4） 解：是余弦曲线5） 解：是正切曲线6） 解：是半抛物线7） 解：是自然对数函数8） 解：是指数函数(a>1)9） 解：是对数函数(a>1)10）解：是对数函数（a<1）11) 解：是指数函数(a<1)12) 解：是指数函数(a>1) 第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图第（4）题图 第（5）题图 第（6）题图 第（7）题图 第（8）题图 第（9）题图 第（10）题图 第（11）题图 第（12）题图五、计算题（1）解：。

2）解：设长为，宽为，则，面积3）解：，所以定义域为4）解：， ， 5）解：由解得，交换和，得到的反函数，由，故定义域为6）解：复合函数为六、讨论题答：（1）复合函数是函数之间的一种运算；（2）并不是任何两个函数都能构成一个复合函数；（3）复合函数可以是由多个（大于两个）函数复合而成；（4）中，后者的值域正好是前者的定义域；（5）构成复合函数的各简单函数，除了最后一个外，都是基本初等函数极 限（P9）一、名词解释极 限——一个数列或函数其变化趋势的终极状态无穷小量——极限为零的变量或者常数0连 续——设函数在及其一个邻域内有定义，且等式成立，则称函数在连续数列极限——对数列来说，若时，，则称数列的极限为 记作函数极限——设函数在的附近有定义，当时，，则称函数在时的极限为A ，记作无穷大量——若，则称为该极限过程下的无穷大量二、填空题1．从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分的基本问题：求面积，体积，弧长，瞬时速度以及曲线在一点的切线问题2．极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态3．在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是极限的朴素思想。

4．公元3世纪，中国数学家刘徽的割圆术，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率的5．极限概念产生于求面积求切线两个实际问题三、回答题1．简述连续性概念答：设函数在及其一个邻域内有定义，且等式成立，则称函数在连续在（a,b）内连续是指函数在（a,b）内的每个点处均连续2．间断点分成几类？答：3．什么是单侧连续？答：设函数在及其右邻域内有定义，且等式成立，则称函数在右连续同理可定义左连续4．什么是连续函数？答：若函数在（a,b）内的每个点处均连续，且在左端点处右连续，右端点处左连续，则称函数在[a,b]上连续5．简述复合函数的连续性定理答：设函数在点处连续，函数在点处连续，而，并设在点的某一邻域内有定义，则复合函数在点处连续四、论述题极限思想的辩证意义是什么？答：极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态，是一个无限逼近的过程，是一个客观上存在但又永远达不到的数在解决实际问题时，“无限”的过程标志着可以得到精确的答案，他是为解决实际问题的需要而产生的，反过来又成为解决实际问题的有力工具五、计算题（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：六、讨论解： ， 函数在x=0处极限不存在。

电大天堂【高等数学（B）】形考作业2答案：导 数一、名词解释导数——设函数在及其邻域内有定义，若存在，则称此极限值为函数在点处的导数值记为，等平均变化率——称为平均变化率瞬时变化率——称为瞬时变化率导函数——对于区间（a,b）内的每一点x都有导数值，这样由这些导数值构成的函数称为的导函数高阶导数——二阶及二阶以上的导数驻点——使得的点极值——设函数在及其邻域内有定义，且在的邻域内恒成立，则称为极大值点，称为极大值同理可定义极小值极大值与极小值统称为函数的极值二、填空题1． 导数的物理意义是瞬时速度2． 导数的几何意义是曲线在一点处切线的些率3． 导数的第三种解释是变化率4． 导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运算的法则5． 可导的函数是连续的，但是连续函数不一定可导三、回答题1． 什么是费马定理？答：设函数在的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有（或），那么2． 什么是罗尔定理？答：设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，并且满足，那么至少存在一点，使得3． 什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的?答：设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么至少存在一点，使得。

辅助函数为：4． 函数的性质有哪些？答：函数的性质有：有界性，奇偶性，周期性，单调性5． 导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？答：导数绝对值大小反映曲线的陡峭程度，导数的绝对值越大，则曲线越陡峭，否则，曲线越平缓6． 什么是极大值（或极小值）?答：设函数在及其邻域内有定义，且在的邻域内恒成立，则称为极大值点，称为极大值设函数在及其邻域内有定义，且在的邻域内恒成立，则称为极小值点，称为极小值7． 请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件答：例如：直线y=c(c为常数)，在任意一点都满足费马定理的条件，且导数值都是0，但是在任意一点处都不是极值点8． 最大值与极大值是一回事吗？答：不是一回事连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值，但是最大值和最小值却各有一个9． 求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤？答：（1）找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值；（2）计算出比区间端点处的函数值；（3）将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值4）如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出唯一驻点，它就是答案四、计算题1． 解：2． 解：。

3． 解：4． 解：5． 解：6． 解： 7． 解：当时，当时， 综上所述，8． 解：9． 解：10． 解： … … 五、应用题1． 解： ， 当时， ，， 答：体积V增加的速率为400cm/s.2. 解：设一边长为x,则另一边长为1-x, 矩形面积S=x(1-x)=, , 令，解得 答：从中间截断，可得到最大矩形的面积2． 解：设宽为米，则长为米，围墙长度为 ，令，即，解得 x舍掉， 512/x答：当宽为16米，长为32米时，才能使材料最省微 分（P17）一、名词解释微分——设函数处的微分，记作函数的一阶微分形式的不变性——无论是自变量也好，还是中间变量也好， 总是成立的微分的线性化——由知，，其中为线性主部，也就是微分二、填空题1．微分有双重意义，一是表示微小的量，二是表示一种与求导密切相关的运算2．微分学包括两个系统：概念系统与算法系统3． 导数是逐点定义的，它研究的是函数在一点附近的性质4．微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系，建立了微积分理论联系实际的桥梁三、回答题1．微分学基本问题是什么？答：求非均匀变化量的变化率问题。